一、計算下面各題，并寫出簡要的運算過程（12分）

　　2.1991×199219921992-1992+199119911991

　　二、填空題（48分）

　　1.有A、B兩組數，每組數都按一定的規律排列著，并且每組都各有25個數。A組數中前幾個是這樣排列的1，6，11，16，21……；B組數中最后幾個是這樣排列的……，105，110，115，120，125。那么，A、B這兩組數中所有數的和是__（3分）

　　2.某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如圖1。現用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給圖1染色，要求任意相鄰的兩個縣染不同顏色。共有__種不同的染色方法。（5分）

　　3.如圖2的數陣是由77個偶數排成的，其中20、22、24、36、38、40這六個數由一個平行四邊形圍住，它們的和是180。把這個平行四邊形沿上下、左右平移后，又圍住了右邊數陣中的另外六個數，如果這六個數的和是660，那么，它們當中位于平行四邊形左上角的那個數是__。（4分）

　　4.在左邊的乘法算式中，我、學、數、樂各代表四個不相同的數字。如果“樂”代表“9”，那么，“我”代表__，“數”代表__，“學”代表__。（4分）

　　5.1993年一月份有4個星期四、5個星期五，1993年1月4日是星期__。

　　6.一個小數去掉小數部分后得到一個整數，這個整數加上原來的小數與4的乘積，得27.6。原來這個小數是__。（5分）

　　7.李志明、張斌、王大為三個同學畢業后選擇了不同的職業，三人中有一個當了記者。一次有人問起他們的職業，李志明說：“我是記者。”張斌說：“我不是記者。”王大為說：“李志明說了假話。”如果他們三人的話中只有一句是真的，那么__是記者。（3分）

　　9.在1992后面補上三個數字，組成一個七位數，使它分別能被2、3、5、11整數，這個七位數最小是__。（5分）

的個位數字1992個“8”是__，十位數字是__，百位數字是__。（3分）

　　三、解答下面的應用題。（要寫出列式解答過程。列式時，可以分步列式，可以列綜合算式，也可以列方程。）（32分）

　　1.張師傅駕駛一輛載重汽車從縣城出發到省城送貨，到達省城后馬上卸貨并隨即沿原路返回。他駕駛的這輛汽車去時每小時行64千米，返回時每小時行56千米，往返一趟共用去12小時（在省城卸貨所用時間略去不計）。張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行了多少千米？（5分）

　　2.一個長方形，如果長減少5厘米，寬減少2厘米，那么面積就減少66平方厘米，這時剩下的部分恰好成為一個正方形。求原來長方形的面積。（5分）

　　3.有兩堆煤，第一堆是第二堆的4倍。當第二堆煤運走6.25噸后，第一堆煤是第二堆煤的6倍。第二堆煤原有多少噸？（5分）

分數是80分。求不及格的人的平均分數。（5分）

　　5.啟蒙書社五天內賣出《中學生手冊》和《小學生手冊》共120本。《中學生手冊》每本5元，《小學生手冊》每本3.75元。營業員統計的結果表明：這五天內所賣《中學生手冊》的收入比賣《小學生手冊》的收入多162.5元。這五天內啟蒙書社賣出的《中學生手冊》和《小學生手冊》各多少本？（6分）

　　6.如圖3，BD是梯形ABCD的一條對角線，線段AE與梯形的一條腰DC平行，AE與BD相交于O點。已知三角形BOE的面積比三角形AOD的面積大

　　四、長方形ABCD的長是4厘米、寬3厘米。從這個長方形中剪去兩個長2厘米、寬1厘米的小長方形后得到一個“T”形（如圖4）。請你沿直線（用虛線在圖上畫出這樣的直線）把這個“T”形剪兩刀，并使剪開的部分恰好能拼成一個正方形。（8分）

　　詳解與說明

　　一、計算題

　　說明：本題的算式看上去挺繁，但細心觀察不難發現括號內的三個乘（除）式都含有因數“3”，把“3”作為公因數提取后計算就簡便多了。《數學之友》（7）第63頁上有一道十分類似的計算題。

　　2.解：1991×199219921992-1992×199119911991

　　=1991×1992（100010001-100010001）

　　=1991×1992×0

　　=0

　　說明：解本題的關鍵是迅速觀察到被減數和減數含有公因數1991×1992，這個乘積可以暫時保留在式中，看括號內的計算結果是不是便于立即能口算出答案。本題同《數學之友》（7）綜合練習十的第2題也很相似。

數列的各項依次對應相加所得到的。看出這一層關系，就容易想到把式中每

”欄目內專門作了介紹。

　　二、填空題

　　1.（1＋125）×25=3150

　　說明：首先通過觀察容易發現A、B兩組數的排列規律。這兩組數都排成等差數列，并且每組數都有25個數。用等差數列的求和公式可以算出結果，但必須先推算出A組數的第25個及B組數的第1個。如果選手們能從“兩組數個數相等”與“兩組數都是公差為5的等差數列”這兩個條件入手，用“首尾配對，變加為乘”（見本報1991年9月25日“教你思考”欄）的技巧來解，那么計算簡便多了。

　　2.解：把該沿海城市地圖上的7個縣分別編號為A、B、C、D、E、F、G（如圖5）。為了便于觀察，可以把圖5改畫成圖6（相鄰關系不改變）。我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色依次染色，根據乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860（種）不同的染色方法。

　　說明：“加法原理與乘法原理”是本報223期“奧林匹克學校”欄所介紹的內容，但應用乘法原理來解本題，要謹防遺漏。為了避免遺漏，就應適當選擇染色的順序。或許有的選手會問：既然要講究染色的順序。那么“按A、B、C、D、E、F的順序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？對了，我們這里所說的“適當選擇染色順序”，不是說染色方法與染色順序有關，而是說選擇某些染色次序很可能算錯。比如說，如果我們選擇B、C、G、D、A、E、F的染色順序，那么，根據乘法原理算得的結果是

　　5×4×4×3×2×3×3=4320（種）。這當中遺漏了540（種），為什么會遺漏呢？因為在給B、C染色之后，再給G染色時，沒有分“G與B同色”、“G與B不同色”兩種情況。

　　舉個簡單的例子，如圖7，如果按④③②①的順序染色，容易誤算為5×4×4×2=160（種），而實際上，應分兩種情況：

　　（1）②與③同色時有5×4×1×3=60（種）染法

　　（2）②與③不同色時，有5×4×3×2=120（種）染法

　　共有60＋120=180（種）染法，而不是160種。

　　3.解法一：以平行四邊形左上角那個數為標準，其余五個數分別比它大2、4、16、18、20。如果從平行四邊形內六個數的和中依次減去2、4、16、18、20，那么剩下的數就是左上角那個數的6倍。根據題意，可求出平移后的平行四邊形內左上角那數為[660-（2＋4＋16＋18＋20）]÷6=100

　　解法二：移動前平行四邊形內6個數的和是20＋22＋24＋36＋28＋40=180。移動后，這六個數的和增加到660，增加了660-180=480。由于移動過程中平行四邊形內每個數增加得一樣多，因而容易求出從“180”到“660”，每個數都增加了（660-180）÷6=80。這樣，可知道左上角的數增加到20＋80=100。

　　解法三：通過觀察可知，平行四邊形內上一行左、中、右三數與下一行

下一行右邊的那個數與上一行左邊那個數相減，差都是20。這樣，求左上角那個數就變成了一個“和差問題”。算式為

　　（660÷3-20）÷2=100

　　說明：本題的解法很多，因為題中的數陣隱藏著許多有趣的規律，選擇不同的規律，將會得到不同的解法。本題是根據1991年11月5日第一版“教你思考”欄中一題改編而成的。

　　4.解：由“樂”代表9，可推到“學”代表1，“數”代表6；由積是一個十位數，并且前兩位數都是6，可推知“我”代表8。

　　說明：本題是把1992年5月25日第四版上談祥柏先生寫的“六一專稿”里一題變了一下形式。要推知“樂”、“學”、“數”各代表什么數字，只要運用所學的“自然數平方尾數性質”及進位的知識，就會立即得到結果。再推“我”代表幾就稍難些。

　　需要用估值法：

　　所以8≤我≤9顯然，“我”只能是8。

　　5.解：畫一個日歷表，從表中馬上看出：

　　1993年1月4日星期一。

　　說明：根據“有五個星期五”，可知從第一個星期五到第五個星期五之間共有29天。31-29=2（天），這多余的2天是在第一個星期五前，還是在第五個星期五之后呢？如果在第一個星期五之前，那就多一個星期四，這與題中條件不符。所以應把多余的2天排在月末。這種借助日歷表推算的方法，本報1992年3月25日第一版“小讀者園地”欄目中介紹過。

　　7.解：張斌是記者。

　　說明：這是根據本報1992年3月15日“奧林匹克學校”欄推理問題例1改編而成的。具體推理過程是――

　　假設李志明是記者，那么李志明、張斌都說了真話，而三人中只有一人說真話。這說明假設不正確，李志明不是記者（李志明說了假話）。也就是說，王大為說了真話。另一個說假話的是張斌。從而推知：張斌是記者。

　　也就是5X＜76＜5Y

　　又因為X、Y是兩個連續自然數

　　所以，必有X=15，Y=16

　　解法二：根據分數的基本性質

　　由“X、Y是連續自然數”推知X=15，Y=16。

　　說明：僅從題中的不等式不容易判斷X、Y的取值范圍，這就想到了通分；要通分，就要運用“分數的基本性質”。有了X、Y的取值范圍，再附加“X、Y是連續自然數”這個條件的限制，X、Y的值也就不難判斷了。本報207期第三版上曾登過類似的題。

　　因為2|A，5|A，所以，c=0；

　　因為3|A，所以3|（a＋b）；

　　因為11|A，所以a-b=1

　　考慮到所組成的七位數應該最小，因而取a＋b=3。這就推出：a=2，b=1。即要求的最小的七位數是1992210。

　　說明：解答本題需要熟悉能被2、5、3、11整除的數的特征，再把根據這些特征推出的結果綜合在一起，加上“最小”這一條件，就可以確保答案是唯一的。這道題比本報第226期“賽前訓練”的第3題還要略簡單些。

　　222222=2×111111=2×111×1001

　　而1001=7×11×13

　　所以222222能被13整除。

　　因為1998=6×333，22÷13=1……9

　　所以，要求的余數是9。

　　說明：讀者容易聯想到：本報第240期“小讀者園地”欄目介紹了“1001”的兩條性質，因為222222=2×111111。運用“111111=111×1001”與“1001=7×11×13”這兩個等式，可把題目轉化為“求22÷13的余數是幾”。有些選手分別計算2、22、222、2222，……被13除所得的余數，再從中找出周期性規律，也同樣能求得余數是9，但這樣做太麻煩，又費時，不可取。

　　11.解：8×1992=15936（個“1”）8×1991=15928（個“10”）8×1990

　　=15920（個“100”）

　　從上面豎式中看出：所求個位數字是6，十位數字是1，百位數字是2。

　　說明：解答本題并不難，只要注意計數單位和進位制，再做簡單的乘法、加法運算就可以了。詳見本報第192期“教你思考”欄謝悠南文。

　　12.解：本題答案不唯一，下面列出幾種：

　　說明：解本題有兩種思路――

母（如12）的任意兩個約數（如3、4），然后把它們的和分別同這兩個約

　　當我們把一個單位分數分解成兩個單位分數后，又可以繼續采用上面的方法，把其中某一個單位分數再一分為二。這樣，只要重復分解，可以把一個單位分數分解成若干個單位分數之和。

　　三、應用題

張師傅往返全程，共用了12小時。于是，省城和縣城之間的路程是

　　張師傅往返一趟共行了358.4×2=716.8（千米）

　　解法二：設縣城與省城之間的路程為X千米。根據題意，列方程

　　2X=358.4×2=716.8（千米）

　　答：張師傅在省城和縣城之間往返一趟共行了716.8千米。

　　說明：本題的解法不止這兩種，比如，還可以根據張師傅往、返的速度之間的關系，把往返一趟所用的時間分成“往”、“返”兩部分，當同學們下學期學過正、反比例之后，會自然而然地想到這一點。不過，還是解法一比較簡便，這種解法本報第187期《巧用“包含除”》一文中專門介紹過。

　　2.解法一：畫出圖來，不難列出這樣的算式（66-2×5）÷（5+2）=8（厘米），長方形面積為8×8+66=130（平方厘米）

　　解方程，得X=8

　　說明：解答本題，只要畫一個草圖，就不難找到題中的等量關系。然后用算術方法或代數方法解都很簡單。本報第213期第3版有一道類似的題。

　　解法二：6.25×4÷（6-4）+6.25

　　=18.75（噸）

　　答：第二堆煤原有18.75噸。

　　說明：如果順著題中的條件去想，那就不容易找到解題的思路，因為題中的“標準量”――第2堆煤的數量在變，4倍與6倍也就聯系不上。其實，只要反過來一想，把第一堆煤作為標準量，數量關系就明朗化了。解法一的思路正是這樣。

　　還可以這樣想：如果從第一堆煤中運走“6.25×4”噸，那么第一堆煤就是現在第二堆煤數量的4倍；如果一點都不運走的話，那么第一堆煤就是現在第二堆煤的6倍，從而，可求出現在第二堆還有6.25×4÷（6-4）=12.5（噸），再加上6.25噸，就是第二堆煤原來的噸數。這就是解法二的算理。本題是根據本報第197期《反過來想想》一文中第二題改編的。

　　4.解法一：（70×4-80×3）÷（4-3）=40

　　或（70×4K-80×3K）÷（4K-3K）=40

　　（K為自然數）

　　解法二：設不及格的人平均成績為X分。

　　根據題意列方程

　　解方程，得X=40

　　答：不及格的人的平均分數為40分。

　　說明：本題是本報第238期“趣題巧解”中的原題，解題思路詳見報紙第241期《為什么可以設全班人數為4呢》一文。

　　5.解法一：（等量假設法）假設所賣出的《中學生手冊》和《小學生手冊》的本數同樣多，也就是各為60本，那么，所賣的《中學生手冊》比小學生手冊》就要多收入（5-3.75）×60=75（元），而實際多收入162.5元，相差162.5-75=87.5（元）。這就可以求出少算的《中學生手冊》的本數為（162.5-75）÷（5＋3.75）=10（本）

　　60＋10=70（本）……《中學生手冊》的本數

　　60-10=50（本）……《小學生手冊》的本數

　　解法二：（同一假設法）假設所賣出的120本全是《中學生手冊》，那么，仿照解法一就可以先求出《小學生手冊》的本數

　　（5×120-162.5）÷（5＋3.75）=50（本）

　　120-50=70（本）……《中學生手冊》的本數

　　解法三：（列方程解）設《中學生手冊》有X本，根據題意，列方程5X-（120-X）×3.75=162.5

　　解得 X=70

　　120-X=50（本）

　　答：這五天內共賣出《中學生手冊》70本，《小學生手冊》50本。

　　說明：就這道題的“條件”和“問題”來看，挺有些像“雞兔同籠問題”。解這類題常用的方法有算術（假設）和列方程兩種方法，這是選手們已經掌握的（見本報216期《插上想象的翅膀》一文）。在解法一和解法二中，實際的“多收入”與假設后的“多收入”之間有個“差”，這個差是怎么來的，不是由于每賣1本《中》比賣1本《小》要多收入“5-3.75”元，而是因為如果有一本《中》被假設（換）成《小》，那么《中》比《小》多收入的部分就減少了“5＋3.75”元。這一點千萬不能搞錯。

　　因為△ABE與△ABD對應于BE、AD邊上的高相等，所以△ABD的面積

　　答：梯形面積是28平方米。

　　說明：解答本題的關鍵是進行兩次轉化：（1）轉化面積差：把已知條件“△BOE的面積比△AOD的面積大4平方米”，轉化為“△ABF的面積比△ABD的面積大4平方米”；（2）轉化數量關系：把

是高相等）。具體算法還很多，但基本思路都是轉化。本報第220期第一版有兩篇文章中介紹過類似的轉化技巧。

　　四、解：剪拼方法不唯一，這里給出兩種（如圖9，圖10）：

　　說明：這是一道動手操作的“實驗”題。不過，在動手之前，先得算一算、想一想，也就是我們常說的“手腦并用”。剪之前，可以這樣想：“T”形圖的面積為

　　4×3-2×1×2=8（平方厘米）

　　這就是說，我們要拼成的正方形的面積應該是8平方厘米。這個正方形的邊長是多少呢？這可難了。如果我們假設這個正方形已經拼成，那么，把它的兩條對角線連起來后，這個正方形就被分成了4個等腰直角三角形，其中的兩個可以拼成一個面積為4（邊長為2）的正方形（如圖11）。從圖中看出所拼成的正方形的邊長應該是面積為4平方厘米的正方形的對角線的長（圖11中的AB）。根據以上推算，容易想到圖9、圖10的兩種剪拼方法。

　　所以，同學們今后碰到類似的動手操作題，應當先想想、算算，千萬不能無把握地下手。不然的話，費了時間，還找不到正確解法。其實，選手們應當從本報第214期第四版《等積變形》一文中受到啟發。