B1－003  設(shè)1≤r≤n，考慮集合{1，2，3，…，n}的所有含r個(gè)元素的子集及每個(gè)這樣的子集中的最小元素，用F（n，r）表示一切這樣的子集各自的最小元素的算術(shù)平均數(shù)．證明：

【題說】第二十二屆（1981年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2．

這n－k個(gè)數(shù)中選出）．所以

將（1）式右邊的和寫成一個(gè)表

將上表每一行加起來，再將這些行和相加便得（1）的右邊的分子，現(xiàn)

 

B1－004  定義一個(gè)數(shù)集的和為該集的所有元素的和．設(shè)S是一些不大于15的正整數(shù)組成的集，假設(shè)S的任意兩個(gè)不相交的子集有不相同的和，具有這個(gè)性質(zhì)的集合S的和的最大值是多少？

【題說】第四屆（1986年）美國數(shù)學(xué)邀請賽題12．

【解】先證明S元素個(gè)數(shù)至多是5．如果多于5個(gè)，則元素個(gè)數(shù)不

S的元素個(gè)數(shù)≤5，所以S的和≤15＋14＋13＋12＋11=65．如果S的和≥62，則S的元數(shù)為5，并且15、14均在S中（S的和至多比15＋14＋13＋12＋11少3）．這時(shí)S中無其它的連續(xù)整數(shù)，因而只有一種情況即｛15，14，13，11，9），不難看出它不滿足條件．

所以，S的和≤61．特別地，S={15，14，13，11，8}時(shí)，和取最大值61．

B1－006  對有限集合A，存在函數(shù)f：N→A具有下述性質(zhì)：若|i－j|是素?cái)?shù)，則f（i）≠f（j），N={1，2，…}．求有限集合A的元素的最少個(gè)數(shù)．

【題說】1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克題4．

【解】1，3，6，8中每兩個(gè)數(shù)的差為素?cái)?shù)，所以f（1），f（3），f（6），f（8<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; m