B1-017  對(duì)任意非空實(shí)數(shù)集S，令σ(S)為S的元素之和．已知n個(gè)正整數(shù)的集A，考慮S跑遍A的非空子集時(shí)，所有不同和σ(S)的集．證明這些和可以分為n類，每一類中最大的和與最小的和的比不超過(guò)2．

【題說(shuō)】 第二十五屆(1996年)美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克題2

【解】設(shè)A={a₁，a₂，…，a_n}，a₁＜a₂＜…＜a_n．令f_j=a₁+a₂+…a_j，e_j=max{a_j，f_j-1}｝，則f_j=f_j-1+a_j≤2e_j(1≤j≤n)．

每個(gè)和a_i1+a_i2+…+a_it，i₁＜i₂＜…＜i_t，必在某個(gè)區(qū)間(f_j-1，f_j]中．因?yàn)?/font>

a_i1+a_i2+a_it＞f_j-1=a₁+a₂+…a_j-1

所以

i_t≥j

從而

a_i1+a_i2+…+a_it≥a_j

于是a_i1+a_i2+…+a_it∈[e_j，f_j]．

這樣σ(S)被分為n個(gè)類，在e_j與f_j之間的和為第j類(1≤j≤n)，f_j本身在第j類，而e_j=f_j-1時(shí)，e_j不在第j類；e_j＞f_j-1時(shí)，e_j在第j類．每一類中最大的和與最小的和的比不超過(guò)2．

B1-018  設(shè)S={1，2，3，4)，n項(xiàng)的數(shù)列：a₁，a₂，…，a_n有下列性質(zhì)，對(duì)于S的任何一個(gè)非空子集B(B的元素個(gè)數(shù)記為｜B｜)，在該數(shù)列中有相鄰的｜B｜項(xiàng)恰好組成集合B．求n的最小值．

【題說(shuō)】1997年愛(ài)朋思杯――上海市賽決賽題3．

【解】n的最小值為8．

首先證明S中的每個(gè)數(shù)在數(shù)列a₁，a₂，…，a_n中至少出現(xiàn)2次．事實(shí)上，若S中的某個(gè)數(shù)在這個(gè)數(shù)列中只出現(xiàn)1次，由于含這個(gè)數(shù)的二元子集共有3個(gè)，但在數(shù)列中含這個(gè)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)至多只有兩種取法，因而3個(gè)含這個(gè)數(shù)的二元子集不可能都在數(shù)列相鄰兩項(xiàng)中出現(xiàn)．

由此可見(jiàn)n≥8．

另一方面，8項(xiàng)數(shù)列：3，1，2，3，4，1，2，4滿足條件，因此，所求最小值為8．

B1-019  求兩個(gè)正整數(shù)m與n之間(m＜n)，一切分母為3的既約分?jǐn)?shù)的和．

【題說(shuō)】1962年成都市賽高三二試題1．

3(n-m)+1

項(xiàng)．其和

但其中整數(shù)項(xiàng)的和

故所求之和

S=S₁-S₂=n²-m²

B1-020  證明cos10°是無(wú)理數(shù)．

【題說(shuō)】1963年合肥市賽高二二試題3．

【證】利用公式cos3x=4cos³x-3cosx，可得

cos30°=4cos³10°-3cos10°

                                                                                                           (1)

即

若cos10°是一個(gè)有理數(shù)，則(1)右端為有理數(shù)，而左端是一個(gè)無(wú)理數(shù)，矛盾，故cos10°為無(wú)理數(shù)．

B1-021  求出所有四元實(shí)數(shù)組(x₁，x₂，x₃，x₄)，使其中任一個(gè)數(shù)與其余三數(shù)積的和等于2．

【題說(shuō)】第七屆(1965年)國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題4．本題由原蘇聯(lián)提供．

【解】設(shè)x₁x₂x₃x₄=d，則

顯然d≤1．有以下五種情況：

所以 d=1，x₁=x₂=x₃=x₄=1．

所以d=1，x₁=x₂=x₃=x₄=1．