A4－001  證明：當且僅當指數n不能被4整除時，1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ能被5整除．

【題說】1901年匈牙利數學奧林匹克題1．

【證】容易驗證1⁴≡2⁴≡3⁴≡4⁴ （mod 5）

假設n=4k＋r，k是整數，r=0，1，2，3．則

S_n=1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ≡1^r＋2^r＋3^r＋4^r（mod 5）

由此推出，當r=0時，S_n≡4，而當r=1，2，3時，S_n≡0（mod 5）．因此，當且僅當n不能被4整除時，S_n能被5整除．

A4－002  證明：從n個給定的自然數中，總可以挑選出若干個數（至少一個，也可能是全體），它們的和能被n整除．

【題說】1948年匈牙利數學奧林匹克題3．

【證】設a₁，a₂，…，a_n是給定的n個數．考察和序列：a₁，a₁＋a₂，a₁＋a₂＋a₃，…，a₁＋a₂＋…＋a_n．

如果所有的和數被n除時余數都不相同，那么必有一個和數被n除時余數為0．此時本題的斷言成立．

如果在n個和數中，有兩個余數相同（被n除時），那么從被加項較多的和數中減去被加項較少的和數，所得的差能被n整除．此時本題的斷言也成立．

A4－003  1．設n為正整數，證明13²ⁿ－1是168的倍數．

2．問：具有那種性質的自然數n，能使1＋2＋3＋…＋n整除1?2?3…?n．

【題說】1956年上海市賽高三復賽題1．

【解】1．13²ⁿ－1=（13²）ⁿ－1，能被13²－1，即168整除．

2．問題即

何時為整數．

（1）若n＋1為奇質數，則

（n＋1） 2（n－1）！

（2）若n＋1=2，則

（n＋1）|2（n－1）！

（3）若n＋1為合數，則

n＋1=ab

其中a≥b＞1．

在b=2時，a=n＋1－a≤n－1，所以

a|（n－1）！，（n＋1）|2（n－1）！

在b＞2時，2a≤n＋1－a＜n－1，所以

2ab|（n－1）！

更有                                      （n＋1）|2（n－1）！

綜上所述，當n≠p－1（p為奇質數）時，1＋2＋…＋n整除1?2…?n．

A4－004  證明：如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方，那么它們的乘積能被504整除．

【題說】 1957年～1958年波蘭數學奧林匹克三試題1．

【證】設三個連續自然數的乘積為n=（a³－1）a³（a³<FONT style="FONT-FAMILY: 宋體; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-f