2002年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽試題（高中）

來(lái)源：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 文章作者：數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2008-11-04 10:45:19

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）
1、函數(shù)f(x)=log_1/2(x²-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是（　　）。
（A）（－∞,－1）　　（B）（－∞,1）　　（C）（1,＋∞）　　（D）（3,＋∞）
2、若實(shí)數(shù)x，y滿足(x+5)²+(y-12)²=14²，則x²+y²的最小值為（　　　）。
（A）2　　　（B）1　　　（C）√3　　　　（D）√2
3、函數(shù)f(x)=x/(1-2^x)-x/2（　　　）
（A）是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)（B）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)（C）既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)（D）既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)
4、直線x/4+y/3=1與橢圓x²/16+y²/9=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得ΔPAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有（　　）。
（A）1個(gè)　　　　（B）2個(gè)　　　　（C）3個(gè)　　　　（D）4個(gè)
5、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A＝｛a₁,a₂,…,a₁₀₀｝與B＝｛b₁,b₂,…,b₅₀｝，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a₁)≤f(a₂)≤…≤f(a₁₀₀)則這樣的映射共有（　　　）。
（A）

　　　　（B）

　　　　（C）

　　　　　（D）

6、由曲線x²=4y,x²=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V₁；滿足x²+y²≤16,x²+(y-2)²≥4,x²+(y+2)²≥4的點(diǎn)（x,y）組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V₂，則（　　　）。
（A）V₁=（1/2）V₂ 　　　　　　　（B）V₁=（2/3）V₂
（C）V₁=V₂　　　　　　　　　　　（D）V₁=2V₂
二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）
7、已知復(fù)數(shù)Z₁,Z₂滿足ㄏZ₁ㄏ＝2,ㄏZ₂ㄏ＝3,若它們所對(duì)應(yīng)向量的夾角為60°,則ㄏ(Z₁＋Z₂₎/(Z₁＋Z₂)ㄏ=　　　。

8、將二項(xiàng)式

的展開式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有　　　　個(gè)。
9、如圖，點(diǎn)P₁，P₂，…，P₁₀分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組（P₁，P_i，P_j，P_k）（1＜i＜j＜k≤10）有　　　　個(gè)。
10、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=　　　　。
11、若log₄(x+2y)+log₄(x-2y)=1，則ㄏxㄏ-ㄏyㄏ的最小值是　　　　。
12、使不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx對(duì)一切x∈R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是　　　　。
三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）
13、已知點(diǎn)A（0,2）和拋物線y²=x+4上兩點(diǎn)B，C使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。
14、如圖，有一列曲線P₀，P₁，P₂……，已知P₀所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，P_k+1是對(duì)P_k進(jìn)行如下操作得到：將P_k的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（k=0,1,2,）。記S_n為曲線P_n所圍成圖形的面積。

……
（1）求數(shù)列｛S_n｝的通項(xiàng)公式；
（2）求

S_n.
15、設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)滿足條件：
（1）當(dāng)x∈R時(shí),f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
（2）當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)≤((x+1)/2)²;
（3）f(x)在R上的最小值為0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。

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