2003年全國數學聯賽競賽考題（高中）
來源：數學聯賽 文章作者：數學聯賽 2008-11-04 10:40:25
| 一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分） 1、設銳角θ使關于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根，則θ的弧度數為（） A.π/6 B.π/12或5π/12 C.π/6或5π/12 D.π/12 2、已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}。若對所有m∈R均有M∩N不是空集，則b的取值范圍是（） A.[-√6/6,√6/6] B.(-√6/6,√6/6) C.(-2√3/3,2√3/3]D.[-2√3/3,2√3/3] 3、不等式 √(log2x - 1) + (1/2)(log1/2x3 + 2) ＞ 0 的解集為（） A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] 4、設O點在三角形ABC內部，且有(0→A)+2(0→B)+3(O→C)=(0→0)，則三角形ABC和三角形A0C的面積與的面積的比為（） [ 注釋：(0→X)表示從O到X的向量，特別地(0→0)表示零向量 ] A.2 B.3/2 C.3 D.5/3 5、設三位數n的百位、十位、個位數字依次為a、b、c，若以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數n有（） A.45個 B.81個 C.165個 D.216個 6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內的點，O為底面圓的圓心，AB垂直于OB，垂足為B，OH垂直于PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點，則當三棱錐O－HPC的體積最大時，OB的長是（） A.√5/3 B.2√5/3 C.√6/3 D.2√6/3 二、填空題（本題滿分54分，每小題9分） 7、在平面直角坐標系xoy中，函數 f(x) = a×sin ax + cos ax (a＞0)在一個最小正周期長的區間上的圖像與函數 g(x) = √(a2+1) 的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____。 8、設函數f：R→R，滿足f(0)=1且對任意實數x,y都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(y)=_____。 9、正方體中ABCD-A1B1C1D1，二面角A-BD1-A1的度數是_____。 10、設p是給定的奇質數，正整數k使得√(k2-pk)也是一個正整數，則k=_____。 11、已知數列a0,a1,a2,…,an滿足關系式(3-an-1)(6+an)=18，且a0=3。設 Xi=1/ai 則X0+X1+X2+…+Xn的值是_____。 12、在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M(-1，2)和N(1，4)，點P在X軸上移動，當∠MPN取最大值時，點P的橫坐標為_____。 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分） 13、一項“過關游戲”規則規定：在第n關要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數之和大于2n，則算過關。 問：（Ⅰ）某人在這項游戲中最多能過幾關？ （Ⅱ）他連過前三關的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數為出現點數。） 14、在平面直角坐標系xoy中，給定三點A(0,3/4),B(-1,0),C(1,0)，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。 （Ⅰ）求點P的軌跡方程； （Ⅱ）若直線L經過△ABC的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。 15、已知α,β是方程4x2-4tx-1=0 (t∈R)的兩個不等實根，函數f(x)=(2x-t)/(x2+1)的定義域為[α,β]。 （Ⅰ）求g(t) = max f(x) - min f(x)； （Ⅱ）證明：對于 ui∈(0,π/2) (i=1,2,3)，G(x)=1/g(tan x)。若 sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1，則G(u1)+G(u2)+G(u2)＜3√6/4。 |
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