一、如圖，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，線段ＡＢ上有一點Ｄ，線段ＡＣ的延長線上有一點Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＣ；線段ＤＥ與?ＡＢＣ的外接圓交于Ｔ點，Ｐ是線段ＡＴ的延長線上的一點．證明：點Ｐ滿足ＰＤ＋ＰＥ＝ＡＴ的充分必要條件是點Ｐ在△ＡＤＥ的外接圓上．

（裘宗滬 供題）

二、給定正整數(shù)ｋ、ｍ、ｎ，滿足１≤ｋ≤ｍ≤ｎ，試求  _{<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />}的值，并寫出推算過程．

（許以超 供題）

三、對正整數(shù)ａ≥２，記Ｎａ為具有以下性質的正整數(shù)ｋ的個數(shù)：ｋ的ａ進制表示的各位數(shù)字的平方和等于ｋ．證明：

（１）Ｎa為奇數(shù)；

（２）對任意給定的正整數(shù)Ｍ，存在正整數(shù)ａ≥２，使得Ｎa≥Ｍ．

（陳永高 供題）_{<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />}

(２０００-０４-０１ ８：００～１２：３０)

四、設ｆ（ｘ）是整系數(shù)多項式，并且ｆ（ｘ）＝１有整數(shù)根．約定將所有滿足上述條件的ｆ組成的集合記為Ｆ．對于任意給定的整數(shù)ｋ＞１，求最小的整數(shù)ｍ（ｋ）＞１，要求能保證存在ｆ∈Ｆ，使得ｆ（ｘ）＝ｍ（ｋ）恰有ｋ個互不相同的整數(shù)根．

（張筑生 供題）

五、（１）設ａ、ｂ是正實數(shù)，數(shù)列｛ｘ_ｋ｝和｛ｙ_ｋ｝滿足

ｘ_０＝１，ｙ_０＝０，且

ｋ＝０，１，２，…．

求證：

ｘ_k＝ ，

其中λ_ｋ，1＝ ．

（２）記ｕ_ｋ＝ ，對任意給定的正整數(shù)ｍ，將ｕ_ｋ除以２^ｍ所得的余數(shù)記為ｚ_ｍ，ｋ．求證：｛ｚ_ｍ，ｋ?｝，ｋ＝０，１，２，…，為純周期數(shù)列，并求出最小正周期．

（黃玉民 供題）

六、設ｎ為正整數(shù)，記集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ是整數(shù)，１≤ｘ，ｙ≤ｎ｝．定義在Ｍ上的函數(shù)ｆ具有性質：

（ａ）ｆ（ｘ，ｙ）取值于非負整數(shù)；

（ｂ）當１≤ｘ≤ｎ時，有 =n-1；

（ｃ）若ｆ（ｘ_１，ｙ_１）ｆ（ｘ_２，ｙ_２）＞０，則（ｘ_１－ｘ_２）（ｙ_１－ｙ_２）≥０.

試計算這樣的函數(shù)ｆ的個數(shù)Ｎ（ｎ），并求出Ｎ（４）的具體數(shù)值．