小學奧數競賽專題之抽屜原理

　　[專題介紹]把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有4種放法（請小朋友們自己列舉），不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

　　同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。

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　　更進一步，我們能夠得出這樣的結論：把n＋1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結論，通常被稱為抽屜原理。

　　利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現象或結論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關鍵是要應用所學的數學知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

　　[經典例題]

　　【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？

　　【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。

　　【例2】任意4個自然數，其中至少有兩個數的差是3的倍數。這是為什么？

　　【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律：如果兩個自然數除以3的余數相同，那么這兩個自然數的差是3的倍數。而任何一個自然數被3除的余數，或者是0，或者是1，或者是2，根據這三種情況，可以把自然數分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數看作“蘋果”，根據抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數。換句話說，4個自然數分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數被3除的余數就一定相同。所以，任意4個自然數，至少有2個自然數的差是3的倍數。

　　想一想，例2中4改為7，3改為6，結論成立嗎？

　　【例3】有規格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

　　【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

　　按5種顏色制作5個抽屜，根據抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會配成3雙。

　　思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結果嗎？

　　2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應取出多少只？

　　3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

　　【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

　　【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

　　最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

　　接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據抽屜原理2，只要取出的球數多于（4-1）×3=9個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

　　故總共至少應取出10＋5=15個球，才能符合要求。

　　思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

　　當我們遇到“判別具有某種事物的性質有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

　　提示

　　抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個蘋果放到n個抽屜里，放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。

　　運用抽屜原理的關鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學可按出生的月份不同分為12類，自然數可按被3除所得余數分為3類等等。