小學奧數競賽專題之雞兔同籠問題

　　[專題介紹]雞兔同籠問題是指在應用題中給出了雞和兔子的總頭數和總腿數，求雞和兔子各有多少只的一類問題。雞兔同籠問題在解答過程中用到假設的思路，可以假設都是兔子，這樣總腿數就比實際腿數要多，多出來的腿數就是把雞當兔子多算的，因此再除以一只雞比一只兔子少的腿數就可以求得雞有多少只。也可以假設成都是雞，這樣就可以求得兔有多少只。

　　[經典例題]例1雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？

　　[分析]：如果46只都是兔，一共應有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應該換進幾只雞才能使56只腳的差數就沒有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了.所以，雞的只數就是28，兔的只數是46-28=18。

　　解：①雞有多少只？

　　（4×6-128）÷（4-2）

　　=（184-128）÷2

　　=56÷2

　　=28（只）

　　②免有多少只？

　　46-28=18（只）

　　答：雞有28只，免有18只。

　　[總結]：先假設它們全是兔.于是根據雞兔的總只數就可以算出在假設下共有幾只腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看相差多少.每差2只腳就說明有一只雞；將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少只雞.我們稱這種解題方法為假設法.概括起來，解雞兔同籠問題的基本關系式是：

　　雞數=（每只兔腳數×兔總數-實際腳數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數）

　　兔數=雞兔總數-雞數

　　當然，也可以先假設全是雞。

　　例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

　　[分析]：這個例題與前面例題是有區別的，沒有給出它們腳數的總和，而是給出了它們腳數的差.這又如何解答呢？

　　假設100只全是雞，那么腳的總數是2×100=200（只）這時兔的腳數為0，雞腳比兔腳多200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數將增加2只，兔的腳數減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數增加（2+4）=6（只），所以換成雞的兔子有120÷6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。

　　解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

　　100-20=80（只）。

　　答：雞與兔分別有80只和20只。

　　例3紅英小學三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班各有多少人？

　　[分析1]我們設想，如果條件中三個班人數同樣多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到啟示，是否可以通過假設三個班人數同樣多來分析求解。

　　結合下圖可以想，假設二班、三班人數和一班人數相同，以一班為標準，則二班人數要比實際人數少5人.三班人數要比實際人數多7-5=2（人）.那么，請你算一算，假設二班、三班人數和一班人數同樣多，三個班總人數應該是多少？

　　解法1：

　　一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

　　=44（人）

　　二班：44+5=49（人）

　　三班：49-7=42（人）

　　答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

　　[分析2]假設一、三班人數和二班人數同樣多，那么，一班人數比實際要多5人，而三班要比實際人數多7人.這時的總人數又該是多少？

　　解法2：（135+5+7）÷3

　　=147÷3

　　=49（人）

　　49-5=44（人），49-7=42（人）

　　答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

　　例4劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？

　　[分析]我們分步來考慮：

　　①假設租的10條船都是大船，那么船上應該坐6×10=60（人）。

　　②假設后的總人數比實際人數多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設成坐6人。

　　③一條小船當成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當成大船。

　　解：[6×10-(41+1）÷（6-4）

　　=18÷2=9（條）

　　10-9=1（條）

　　答：有9條小船，1條大船。

　　例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

　　[分析]這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛的只數.我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為6×18=108（條），所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以，應有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀數1×13=13（對），比實際數少20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7÷（2-1）=7（只）.

　　解：①假設蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？

　　6×18=108（條）

　　②有蜘蛛多少只？

　　（118-108）÷（8-6）=5（只）

　　③蜻蜒、蟬共有多少只？

　　18-5=13（只）

　　④假設蜻蜒也是一對翅膀，共有多少對翅膀？1×13=13（對）

　　⑤蜻蜒多少只？

　　（20-13）÷2-1）=7（只）

　　答：蜻蜒有7只.