歐幾里德小姐的立方體

　　第一個(gè)問(wèn)題的答案是：要證明將一個(gè)4×4×4的立方體切成64個(gè)小立方體至少切六刀(切每一刀時(shí)都可以任意擺放每一塊的位置)，只需考察處于大立方體內(nèi)部的8個(gè)小立方體中的任意一個(gè)。這種小立方體的六個(gè)面都處在大立方體的內(nèi)部，沒(méi)有任何一面暴露于大立方體的外表面，而且，小立方體的每個(gè)面都必須在切一刀之后才能形成，所以，要切出這樣一個(gè)小立方體至少需六刀。

　　那么，是否有一個(gè)一般的方法，用最少的刀數(shù)把一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方體切成若干小立方體，當(dāng)然在切的過(guò)程中允許任意安排每一塊的位置。回答是肯定的，具體方法如下：長(zhǎng)寬高三條棱相交于一點(diǎn)，從這一點(diǎn)出發(fā)，分別把長(zhǎng)寬高分成若干個(gè)單位長(zhǎng)度，由此確定可切的最少刀數(shù)。對(duì)每條棱，在盡可能靠近中心的位置切，然后把切下的兩部分摞在一起，再在盡可能靠近中心的地方切，直至切到每一部分都是單位長(zhǎng)度為止。三條棱需切的刀數(shù)之和，就是所求的最少刀數(shù)。

　　例如，一個(gè)3×4×5的盒子至少需切7刀：長(zhǎng)度為3的邊需切2刀，邊長(zhǎng)為4的需切2刀，邊長(zhǎng)為5的需3刀，一共需7刀。這種一般切法的證明早在1952年出版的《數(shù)學(xué)雜志》上便有登載。

　　第二個(gè)問(wèn)題的答案：解決這個(gè)問(wèn)題的思路是這樣，在立方體的另一個(gè)面上畫(huà)一個(gè)對(duì)角線，使這條線與原有的兩條對(duì)角線一起構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形，見(jiàn)圖2―22。這三條線相等，構(gòu)成一個(gè)正三角形，那么這個(gè)三角形的每個(gè)角都是60度，所以歐幾里德小姐提出的角度是60度。

　　圖2-22

　　對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們還可以進(jìn)一步引申一下，假如歐幾里德小姐如圖2―23所示在立方體上畫(huà)兩條線，A、B、C分別為三條棱的中心，那么AB與BC所夾的平面角的度數(shù)是多少？

　　圖2-23

　　思路同前。首先，依次連接另四個(gè)面上相應(yīng)棱的中點(diǎn)，使之形成一個(gè)繞立方體一周的封閉圖形。這個(gè)封閉圖形六條邊，每邊等長(zhǎng)，而且每?jī)蛇叺膴A角相等。如果我們能證明這個(gè)六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一平面上，那么這六條線構(gòu)成的則必然是正六邊形。而證明這六點(diǎn)共面需要一點(diǎn)演繹或者解析幾何的知識(shí)，不過(guò)你可以實(shí)際操作一下，把一個(gè)正立方體木塊沿著問(wèn)題中涉及到的六個(gè)棱的中心鋸開(kāi)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)切面恰好把立方體兩等分，六點(diǎn)確實(shí)共面。

　　一個(gè)正立方體被如此兩等分，且切面是一個(gè)正六邊形，這一事實(shí)似乎不好想象或者有點(diǎn)出人意料。但是事實(shí)既然如此，我們只好把最初那兩條線看作是這個(gè)正六邊形的兩條邊，而其夾角則是正六邊形的一個(gè)內(nèi)角，即120度。

　　從圖23中我們還可以想到另外一個(gè)有趣的問(wèn)題。假如一只蒼蠅循著立方體的表面從A點(diǎn)爬向C點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)，從A經(jīng)由B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的路徑是最短路徑嗎？

　　這里我們必須很清楚我們的思考方法，假設(shè)我們能“打開(kāi)”這個(gè)立方體，即使相鄰兩面成為一個(gè)平面，那么在這個(gè)平面上連接AC兩點(diǎn)的線段就是從A到C的最短路徑。需要注意的是這樣做的具體途徑有兩個(gè)：旋轉(zhuǎn)頂面使之與前面重合，或者使前面與右面合二為一。前一種情況AC長(zhǎng)√2 ，后一種情況AC長(zhǎng)√2.5，這說(shuō)明圖23畫(huà)出的線路就是從A到C的最短路徑。

　　第三個(gè)問(wèn)題的答案：你完全可以先在某一個(gè)面上測(cè)量，得到數(shù)據(jù)后兩次利用勾股定理求出要求的空間對(duì)角線的長(zhǎng)度。可是有一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法，找一個(gè)長(zhǎng)方形桌面的桌子，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為X，從桌角起沿桌邊量出距離X，在這點(diǎn)處做個(gè)記號(hào)，讓立方體的一個(gè)頂點(diǎn)處在這一點(diǎn)上，一條棱重合于桌邊，如圖2―24所示，顯然，AB兩點(diǎn)問(wèn)的距離就是所要求的立方體的空間對(duì)角線的長(zhǎng)度，它可以用尺子直接量出來(lái)。

　　圖2-24

　　有一個(gè)大球，要量出它的半徑，而尺子的長(zhǎng)度只是大球直徑的三分之二，怎么辦？一個(gè)簡(jiǎn)單的方法是，在球上某部分涂上口紅或別的什么顏色的涂料，然后把這個(gè)球放在地板上靠近墻邊，讓涂色那一部分與墻面接觸，那么口紅就會(huì)在墻上做了一點(diǎn)記號(hào)，這一點(diǎn)距地面的高度很容易用尺子直接量出，其長(zhǎng)度即大球的半徑。

　　想試試怎樣用最簡(jiǎn)單的方法測(cè)量出圓錐體或正四面體的高嗎？想試試怎樣用木匠的角尺測(cè)出圓柱形管子的半徑嗎？