整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是一部矛盾斗爭的歷史。數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾是推動數(shù)學(xué)長河滾滾向前的主要力量之一。

　　數(shù)學(xué)以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己研究的對家，為了在純粹形態(tài)上研究這些形式和關(guān)系，就必須和現(xiàn)實世界的內(nèi)容割裂開來。但是，離開內(nèi)容的形式和關(guān)系是不存在的。因此，數(shù)學(xué)按它的本質(zhì)企圖實現(xiàn)這種割裂，是企圖實現(xiàn)一種不可能的事情。這是在數(shù)學(xué)本質(zhì)中的根本矛盾，它是認識的普遍矛盾在數(shù)學(xué)方面的特殊表現(xiàn)。在越來越接近現(xiàn)實的各個認識階段上，不斷解決和重復(fù)上述矛盾，數(shù)學(xué)就不斷地前進、發(fā)展，由簡單到復(fù)雜，由低級向高級。

　　人類最早認識的是自然數(shù)，引進零和負數(shù)就經(jīng)過了斗爭：要么引進這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通。同樣，引進分數(shù)使乘法有了逆運算—除法，否則許多實際問題也不能解決。

　　但是接著又出現(xiàn)了這樣的問題：是否所有的量都能夠用有理數(shù)來表示？發(fā)現(xiàn)無理數(shù)并最終使得第一次數(shù)學(xué)危機的解決，促使了邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的系統(tǒng)化。方程解的問題導(dǎo)致虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開始就被認為是“不實的”，可是這種不實的數(shù)卻解決了實數(shù)所不能解決的問題，從而為自己爭得了存在的權(quán)利。數(shù)學(xué)就是這樣在矛盾斗爭中發(fā)展的。幾何學(xué)從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到多種幾何，也是如此。

　　在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過加、減、乘、除、開方求出根來；古希臘幾何三大問題不能通過圓規(guī)和直尺作圖來解決等等。這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類認識的深入。

　　這些發(fā)現(xiàn)給有關(guān)學(xué)科帶來了極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)的方面發(fā)展，而求解方程的根也變成了分析及計算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問題的不可判定性，都大大提高了人們的認識，也促進了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。

　　由無窮小量的矛盾引起的第二次數(shù)學(xué)危機，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無窮的矛盾。第三次數(shù)學(xué)危機涉及集合論和數(shù)理邏輯，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)脫離無窮集合就寸步難行。一種極端的觀點是只考慮有限集合或至多是可數(shù)的集合，不過這樣一來絕大部分數(shù)學(xué)將不復(fù)存在。

　　即使這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容也有許多要涉及無窮的方法，有很多的數(shù)學(xué)證明都要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形。對于無窮，計算機也是無能為力的。可見數(shù)學(xué)永遠回避不了有限與無窮這對矛盾，可以說它是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。

　　數(shù)學(xué)中也一直貫穿著應(yīng)用上清楚與邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用，而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家則提出批評。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數(shù)，開始是形式演算，任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。微積分的應(yīng)用與極限論的建立更是眾所周知的。

　　在數(shù)學(xué)史中，一直存在著經(jīng)常起作用的兩種重要趨勢：一種是學(xué)科不斷分化的趨勢，另一種是學(xué)科不斷綜合的趨勢。這兩種矛盾的趨勢的辨證運動，表現(xiàn)為一個否定之否定的過程。

　　自然界作為一個無限多樣性的統(tǒng)一整體，通過感覺和知覺進入人類的意識。古時候，數(shù)學(xué)是在總體的數(shù)和形的關(guān)系上把握自然界的，算術(shù)、代數(shù)、幾何沒有彼此分開，任何一本數(shù)學(xué)名著都包括了這三方面的內(nèi)容，并且把它們?nèi)芑�在一起。因此，古代的�?shù)學(xué)本質(zhì)上是一種感性直觀的關(guān)于數(shù)和理的綜合的科學(xué)。

　　從17世紀(jì)產(chǎn)生解析幾何和微積分以后，學(xué)科分化的趨勢一直居于主導(dǎo)地位。單一的未經(jīng)分化的學(xué)科向許多專門分支學(xué)科發(fā)展，每一門學(xué)科所研究的又都是具體完整的數(shù)學(xué)中數(shù)與形的某一個方面。這種不斷分化，到19世紀(jì)下半葉達到了相當(dāng)精細的程度，代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科已經(jīng)形成了各自不同的研究領(lǐng)域，特別是分析領(lǐng)域的發(fā)展更是蓬蓬勃勃。每個學(xué)科都可以互不聯(lián)系地單獨向前發(fā)展，各學(xué)科在理論、語言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的圖景。

　　從1872年克萊因用“群”的觀點統(tǒng)一各種幾何開始，到康托爾建立集合論和公理化運動，越來越分化的數(shù)學(xué)走向綜合的趨勢逐漸明顯。到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)學(xué)科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)后，綜合的趨勢已占主導(dǎo)地位。學(xué)科的繼續(xù)分化實際上已經(jīng)是綜合趨勢的一種表現(xiàn)形式，因為新學(xué)科的不斷出現(xiàn)正在越來越消除各學(xué)科之間的傳統(tǒng)界限。對于數(shù)和形的深入認識，更多地采用多學(xué)科的方法的綜合認識形式。因此，各門學(xué)科更加緊密地聯(lián)系起來。現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個方面，就越是接近于綜合地把握整體。

　　也許將來會出現(xiàn)一種公認的新觀點，把目前的數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來。但是，這種統(tǒng)一只是暫時的、相對的。隨著生產(chǎn)和科技的發(fā)展，又會產(chǎn)生新的問題，形成新的分支，促進新的分化。數(shù)學(xué)將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進。