數(shù)學(xué)是上帝用來(lái)書寫宇宙的文字—伽利略

　　符號(hào)常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推廣。—F·克萊茵

　　教學(xué)也是一種語(yǔ)言，且是現(xiàn)存的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容方面最完美的語(yǔ)言。……可以說(shuō)，自然用這個(gè)語(yǔ)言講話超世主已用它說(shuō)過(guò)話，而世界的保護(hù)者繼續(xù)用它講話。—C·戴爾曼

　　人總想給客觀事物賦于某種意義和價(jià)值，利用符號(hào)認(rèn)識(shí)新事物，研究新問(wèn)題，從而使客觀世界秩序化，這便創(chuàng)造了科學(xué)、文化、藝術(shù)、……

　　符號(hào)就是某種事物的代號(hào)，人們總是探索用簡(jiǎn)單的記號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號(hào)也正是這樣產(chǎn)生的。

　　文字是用聲音和形象表達(dá)事物的符號(hào)，一個(gè)語(yǔ)種就是一個(gè)“符號(hào)系統(tǒng)”。這些符號(hào)的組合便是語(yǔ)言。

　　人們?cè)噲D用“精密”的方法研究藝術(shù)，這在很大程度上依靠符號(hào)，“藝術(shù)符號(hào)學(xué)”這門新興學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生了，它是美學(xué)的一個(gè)部分。

　　1961年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫哥洛夫把統(tǒng)計(jì)學(xué)分析應(yīng)用到詩(shī)歌語(yǔ)言研究中，把語(yǔ)言中的轉(zhuǎn)換和其他符號(hào)學(xué)系統(tǒng)中的轉(zhuǎn)換相比較，論述了符號(hào)學(xué)的一般意義。

　　符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)講更是極為重要的，它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，這在事實(shí)上增加了人們的思維能力。沒(méi)有符號(hào)去表示數(shù)及其運(yùn)算，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不可想象的。數(shù)是科學(xué)的語(yǔ)言，符號(hào)則是記錄、表達(dá)這些語(yǔ)言的文字。正如沒(méi)有文字，語(yǔ)言也難以發(fā)展一樣。幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都是靠一種符號(hào)語(yǔ)言而生存，數(shù)學(xué)符號(hào)是貫穿于數(shù)學(xué)全部的支柱。

　　古代數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展；十七、十八世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起、我國(guó)幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的緩慢，這些在某種程度上也都?xì)w咎于數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用得當(dāng)與否，簡(jiǎn)練、方便的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于書寫、運(yùn)算、推理來(lái)講，都是何等方便！反之，沒(méi)有符號(hào)或符號(hào)不恰當(dāng)、不簡(jiǎn)練，是必影響到數(shù)學(xué)的推理和演算。

　　然而，數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生(發(fā)明)、使用和流傳(傳播)卻經(jīng)歷了一個(gè)十分漫長(zhǎng)的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程的始終貫穿著自然、和諧與美。

　　古埃及和我國(guó)一樣，是世界上四大文明古國(guó)之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了數(shù)學(xué)，在數(shù)的計(jì)算方面還會(huì)使用分?jǐn)?shù)，不過(guò)他們是用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))進(jìn)行運(yùn)算的。此外，他們還能計(jì)算直線形和圓的面積，他們知道了圓周率約為3.16，同時(shí)也懂得了棱臺(tái)和球的體積計(jì)算等。可是記數(shù)他們卻是用下面的符號(hào)(這里面多是寫真，顯然包含著美)進(jìn)行的：

　　1101001000100001000001000000這樣書寫和運(yùn)算起來(lái)都不方便，比如要寫數(shù)2314，就要用符號(hào)表示。

　　后來(lái)他們把符號(hào)作了簡(jiǎn)化而成為：

　　古代巴比倫人(巴比倫即當(dāng)今希臘一帶地方)計(jì)算使用的是六十進(jìn)制，當(dāng)然它也有其優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)?0有約數(shù)2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等，這樣在計(jì)算分?jǐn)?shù)時(shí)會(huì)帶來(lái)某種方便(現(xiàn)在時(shí)間上的小時(shí)、分、秒制及角的度制，仍是六十進(jìn)制)。巴比倫人已經(jīng)研究了二次方程和某些三次方程的解法。他們?cè)诠�元�?000年就開(kāi)始將楔形線條組成的符號(hào)(稱為楔形文字)刻在泥板上，然后放到烈日下曬干。同樣他們也是用楔形文字表示數(shù)的(簡(jiǎn)潔、粗獷)：

　　我國(guó)在紙張沒(méi)有發(fā)明以前，已經(jīng)開(kāi)始用“算籌”進(jìn)行記數(shù)和運(yùn)算了。“算籌”是指用來(lái)計(jì)算用的小竹棍(或木、骨棍)，這也是世界上最早的計(jì)算工具。用“算籌”表示數(shù)的方法是：

　　記數(shù)時(shí)個(gè)位用縱式，其余位縱橫相間，故有“一縱十橫，百立千僵”之說(shuō)。數(shù)字中有0時(shí)，將其位置空出，比如86021可表示為：

　　甲骨文字中數(shù)字是用下面符號(hào)表示的(形象、自如)：

　　阿位伯?dāng)?shù)字未流行以前，我國(guó)商業(yè)上還通用所謂“蘇州碼”的記數(shù)方法(方便、明快)：

　　它在計(jì)數(shù)和運(yùn)算上已帶來(lái)較大方便。

　　在計(jì)數(shù)上歐洲人開(kāi)始使用的是羅馬數(shù)字：阿拉伯?dāng)?shù)字據(jù)說(shuō)是印度人發(fā)明的，后傳入阿拉伯國(guó)家，經(jīng)阿拉伯人改進(jìn)、使用，因其簡(jiǎn)便性而傳遍整個(gè)世界，成為通用的記數(shù)符號(hào)。

　　我們?cè)賮?lái)看看代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容：“方程”符號(hào)產(chǎn)生的歷史。

　　在埃及出土的三千六百年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)：

　　它既不是什么繪畫藝術(shù)，也不是什么裝飾圖案，它表達(dá)的卻是一個(gè)代數(shù)方程式，用今天的符號(hào)表示即：宋、元時(shí)期我國(guó)也開(kāi)始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論”的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)仍使用的是“算籌”，在那時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)著作中，就是用右圖中的記號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式412x2-x+136的。其中x系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。

　　到了十六世紀(jì)，數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn)

　　直到笛卡兒(法國(guó)數(shù)學(xué)家)才第一個(gè)倡用x、y、z表示未知數(shù)，他曾用xxx-9xxx+26x－24∝0

　　表示

　　x3-9x2+26x-24=0，

　　這與現(xiàn)在的方程寫法幾乎一致。

　　我們還想指出一點(diǎn)：數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)去表示，才能更加確切和明了。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，隨著人們對(duì)于數(shù)認(rèn)識(shí)的加深，用原有符號(hào)去表示新的概念，有時(shí)竟會(huì)感到無(wú)能為力(沒(méi)有根號(hào)如何表示某些無(wú)理數(shù)？)，這需要?jiǎng)?chuàng)新。

　　圓周率(圓的周長(zhǎng)與直徑的比)是一個(gè)常數(shù)，1737年Euler首先倡導(dǎo)用希文π來(lái)表示它(早在1600年英國(guó)數(shù)學(xué)家W．Oughtred曾用π作為圓周長(zhǎng)的符號(hào))，且通用于全世界。

　　用e表示特殊的無(wú)理常數(shù)(也是超越數(shù))——歐拉常數(shù)：

　　的也是Euler。我們知道要具體寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能(它們

　　，然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻可精確地表示它們。

　　年首創(chuàng)的(這也使我們想到：歐拉的成就與他對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造不無(wú)關(guān)系)。

　　(那么奇妙的等式eiπ+1＝0（①在這里若1、0代表算術(shù)，i代表代數(shù)，π代表幾何，超越數(shù)e則代表分析學(xué)。那么此式將許多數(shù)學(xué)分支融合到了一起。）中的五個(gè)數(shù)中的三個(gè)書寫符號(hào)都是出自數(shù)學(xué)大師Euler之手！)

　　代數(shù)學(xué)就其某種意義上說(shuō)是符號(hào)形式的運(yùn)算。關(guān)于方程式符號(hào)的演變，我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)闡述，關(guān)于其他一些數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生可見(jiàn)下表：

　　當(dāng)然數(shù)學(xué)中還有許多符號(hào)，這些符號(hào)均有其獨(dú)特含義，使用它們不僅方便而且簡(jiǎn)潔，比如“！”號(hào)表示階乘，那么

　　n！＝n×(n-1)×…×2×1，

　　這種符號(hào)的進(jìn)一步使用與推廣便是“∏”：

　　與之相應(yīng)的還有求和號(hào)“∑”含義是：

　　有趣的是求和概念的推廣—函數(shù)求積中積分符號(hào)“∫”似乎是“∑”號(hào)的拉伸人們也意識(shí)到：只有使用不曾為那些含糊觀念(如時(shí)間、空間、連續(xù)性等)所侵占了的符號(hào)語(yǔ)言——這些含糊觀念起源于直覺(jué)，常會(huì)妨礙純粹的推理——我們才有希望把數(shù)學(xué)建筑在邏輯的穩(wěn)固基石上。

　　數(shù)學(xué)符號(hào)除了簡(jiǎn)潔之外，還有另外的意義：形象美。

　　哈密頓算子是一種重要的微分算子：

　　由它作為工具，可導(dǎo)出一系列美妙的結(jié)論：

　　gradu)

　　這是一個(gè)代表u在空間中最大變化率的大小和方向(它是一個(gè)向量)的符號(hào)。

　　當(dāng)它作用于向量場(chǎng)函數(shù)：

　　v=v1i+v2j+u3k(vi是x、y、z的函數(shù))

　　這是一個(gè)“四元數(shù)”，其數(shù)量部分稱為v的散度(記為divv)，向量部分稱為v的旋度(記為rotv)。

　　若用哈密頓算子，v的散度、旋度又分別可表示為：

　　十九世紀(jì)末，麥克斯韋的電磁學(xué)方程組，其微分形式就是用哈密頓算子表示的，其簡(jiǎn)潔與美妙自不待言。

　　拉普拉斯方程

　　若用哈密頓算子表示，也是十分漂亮、利落：

　　由上看來(lái)，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于表現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，是何等重要！這就是說(shuō)：數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)化了復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，且通過(guò)它可把遠(yuǎn)離的數(shù)學(xué)理論巧妙地聯(lián)系起來(lái)。

　　若說(shuō)+、－、×、÷、……等在數(shù)學(xué)上不過(guò)是一個(gè)符號(hào)，那么行列式和矩陣記號(hào)的出現(xiàn)，則是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的大膽創(chuàng)新，它的絕妙處已為它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用所顯示。

　　行列式概念源于Cauchy，他是在討論二次型ax2+2bxy+cy2的判別式時(shí)而引入的。Lagrange也討論過(guò)某些三階行列式。