被稱為古希臘三大數(shù)學(xué)家之一的歐幾里得，其最偉大的功績就是寫出了不朽的《幾何原本》。長久以來，數(shù)學(xué)家們之所以對這本書評價(jià)如此之高，就是因?yàn)檫@本書第一次把數(shù)學(xué)用公理的形式表現(xiàn)出來。

　　所謂公理或公設(shè)，指的是某門學(xué)科中不需要證明而必須加以承認(rèn)的某些陳述或命題，即“不證自明”的命題。一門學(xué)科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命題就可以由這些公理或公設(shè)邏輯地推證出來。如果我們把一門學(xué)科比作一幢大樓，那么該學(xué)科的公理或公設(shè)就像大樓的地基，整幢大樓必須以它為基礎(chǔ)而建立起來。

　　《幾何原本》的影響十分深遠(yuǎn)，它已經(jīng)成了數(shù)學(xué)證明中的一個(gè)典范。它所建立起的公理的方法，今天幾乎已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域。在這本書中，歐幾里得精心選擇了5個(gè)公里、5個(gè)公設(shè)，然后在此基礎(chǔ)上一步一步推導(dǎo)出幾何學(xué)中的其他命題。

　　然而，后來人們在研究《幾何原本》的過程中，歐幾里得的第五個(gè)公設(shè)引起了人們的注意，那條公設(shè)是：

　　如果同一平面內(nèi)一直線同另外兩條直線相交，同一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無限延長時(shí)，必在這一側(cè)相交。

　　這條公設(shè)與另外4條相比，顯得敘述復(fù)雜，而且根本沒有“自明”的特征。事實(shí)上，它是《幾何原本》中命題17的逆命題。它看起來更像一個(gè)定理而不像公設(shè)。歐幾里得本人似乎也在極力避免使用這條公設(shè)，直到命題29的證明中才使用到它。于是，數(shù)學(xué)家們開始猜測，這條公設(shè)是否真的必要？能不能從其他的九個(gè)公理和公設(shè)中把它推導(dǎo)出來？為此，數(shù)學(xué)家們忙碌了兩千多年！在這個(gè)過程中，人們找到了這條公設(shè)的許多等價(jià)命題。比如，在中學(xué)課本中我們所了解的“過直線外一已知點(diǎn)能作一條且只能作一條直線平行于已知直線”，“任何一個(gè)三角形內(nèi)角之和為兩個(gè)直角”等等。但是，人們最沒能證明第五公設(shè)，人們給出的許多“證明”，都被發(fā)明其中隱含承認(rèn)了它的某個(gè)等價(jià)命題。

　　盡管人們的嘗試失敗了——事實(shí)證明他們也必然要失敗，數(shù)學(xué)家們卻由此而建立了兩種全新的幾何學(xué)，即非歐幾何！

　　建立非歐幾何的榮譽(yù)，應(yīng)該由高斯（Gauss,1777~1855）、鮑耶（Bolyai,1802~1860）和羅巴切夫斯基（Lobacevskil,1792~1856）三人共同分享。不過在介紹他們的工作之前，我們先來看在這方面曾作過努力和貢獻(xiàn)的幾位數(shù)學(xué)家。

　　首先要提到的是意大利耶穌會(huì)士和帕維亞大學(xué)的教授薩謝利（Saccheri,1667~1733）。他研究了一個(gè)四邊形ABCD（如圖1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他證明了∠D=∠C，那么這兩個(gè)角的大小只有三種可能：鈍角、直角或銳角，薩謝利稱之為鈍角和銳角假定和銳角假定。他希望證明鈍角和銳角假定是錯(cuò)誤的，那么余下的直角假定就是第五公設(shè)的等價(jià)形式！薩謝利隱含的假定的矛盾性，但對于銳角假定，邏輯事實(shí)使他左右為難，最后毫無說服力地硬塞進(jìn)一個(gè)“矛盾”。如果他不是那樣迫不及待地塞進(jìn)一個(gè)所謂“矛盾”，而是大膽地承認(rèn)自己找不到矛盾，那么非歐幾何的發(fā)現(xiàn)無疑應(yīng)該歸功于薩謝利。非歐幾何已經(jīng)碰到了他的鼻尖上，但他讓它溜走了。

　　33年之后，法國數(shù)學(xué)家蘭伯特（Lambert,1728~1777）也作了類似的研究，并寫出了一本《平行線論》。他研究的則是有三個(gè)直角地四邊形，討論第四角的情況，同樣也有相應(yīng)三種假定。他也默認(rèn)了直線是無限長這一假設(shè)，而否定了鈍角假定，但他注意到了鈍角假定的一些結(jié)論適合球面圖形。在銳角假定的問題上，他比薩謝利走得更遠(yuǎn)，當(dāng)他在銳角假定下得不到矛盾時(shí)，他沒有輕易否定這個(gè)假設(shè)，而是猜測銳角假定推出的幾何也許能在虛半徑的球上被證實(shí)，這一點(diǎn)他猜對了！

　　蘭伯特是第一位懷疑第五公設(shè)可證性的人，但他最終還是沒有跳出前人的框框，而與非歐幾何失之交臂。

　　對此作出卓越貢獻(xiàn)的第三人是法國著名數(shù)學(xué)家勒讓德。他曾譯過《幾何原本》，著有《幾何原理》，并且多次給出了第五公設(shè)的“證明”。他考慮三角形的內(nèi)角和分別大于、小于和等于兩個(gè)直角的三個(gè)假定，恰好對應(yīng)于薩謝利的三個(gè)假設(shè)。他也在銳角假定下走了很遠(yuǎn)，但他最終的證明也非常隱蔽地包含了一個(gè)第五公設(shè)的等價(jià)形式。

　　實(shí)際上，第五公設(shè)是不可證明的，它是獨(dú)立于其他假設(shè)的！以銳角假定為基礎(chǔ)而推出的幾何和以直角假定為基礎(chǔ)而推出的幾何一樣，是自身內(nèi)部不矛盾的。由于兩千多年來傳統(tǒng)偏見的束縛，要認(rèn)識到這一點(diǎn)，必須要有非同尋常的勇氣和想象力。

　　高斯是真正預(yù)見到非歐幾何的第一人。他大約在1816年左右就對非歐幾何有了比較明確的認(rèn)識。但高斯十分小心謹(jǐn)慎，沒有發(fā)表關(guān)于此類的任何文章，生怕引起世俗的反對。我們知道他的思想僅僅是通過他與好友間的通信、對別人著作的幾份評論，以及他死后從稿紙中發(fā)現(xiàn)的幾段札記。盡管如此，他卻鼓勵(lì)別人進(jìn)行這方面的研究，而且，把這種幾何稱為非歐幾何的就是他本人。

　　預(yù)見到非歐幾何的第二人是J．鮑耶，他是奧地利軍隊(duì)的一名匈牙利軍官。他父親F．鮑耶是高斯的大學(xué)同學(xué)和朋友。老鮑耶也曾經(jīng)對第五公設(shè)感興趣，曾經(jīng)花費(fèi)了大量的時(shí)間研究過它。當(dāng)他知道自己的兒子也對此著了迷時(shí)，曾告誡他不要在這上面耗費(fèi)時(shí)間，因?yàn)樗鼈兛赡?ldquo;吞沒一千個(gè)牛頓這樣的天才”。但小鮑耶不聽勸告，堅(jiān)持自己的研究，并說：“我要白手起家創(chuàng)造一個(gè)奇怪的新世界。”1823年，小鮑耶基本上形成了自己的思想，但當(dāng)他通過父親寫信向高斯征求意見時(shí)，高斯卻在回信中說，他不能稱贊鮑耶的工作，因?yàn)檫@樣做將是稱贊他自己在初年以前就開始做的事情。小鮑耶對此十分氣惱，認(rèn)為高斯想搶占他的成果。最后，小鮑耶把他的研究結(jié)果寫成一本小冊子，在1832年作為他父親一部半哲學(xué)性著作的附錄發(fā)表了。

　　雖然人們承認(rèn)是高斯和鮑耶最先料想到了非歐幾何的存在，但實(shí)際上發(fā)表該課題第一篇論文的是俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。

　　羅巴切夫斯基出生在喀山，他一生中的大部分時(shí)間是在喀山大學(xué)度過的。他先是當(dāng)學(xué)生，后來任數(shù)學(xué)教授，最后當(dāng)上了校長，晚年任喀山教育區(qū)督學(xué)的助手。他于1816年前后開始研究第五公設(shè)，起初他也試圖證明它，后來他果斷地放棄了這種嘗試。他的關(guān)于非歐幾何的最早論文是于1829年在《喀山通報(bào)》上發(fā)表的，比鮑耶要早2～3年。他把第五公設(shè)改為“過直線外一點(diǎn)可以作兩條直線與已知直線平行”，而保持其他公理不變。在此基礎(chǔ)上，他構(gòu)筑了一套完全不同的而自身內(nèi)部并不矛盾的幾何，后來被人們稱作“羅巴切夫斯基幾何”。他的著作開始并不為人所注意而且得不到學(xué)術(shù)界的支持，但他仍堅(jiān)持不懈，一心一意地完善自己的理論。

　　要改變傳統(tǒng)的觀念去接受一種全新的東西總是那樣困難，羅巴切夫斯基和鮑耶的著作在發(fā)表后若干年，整個(gè)數(shù)學(xué)界才對此給予更多的注意，幾十年后，這一發(fā)現(xiàn)的真正內(nèi)涵才被理解！

　　后來，德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann，1826～1866）又修改了第五公設(shè)，把球面上的大圓作為直線，那么直線就是無界（或者說無端點(diǎn)）的了，但長度卻是有限的。黎曼又修改了其他幾條公理以適合球面，又構(gòu)造了一種球面上的幾何學(xué)，被稱為“黎曼幾何”。它也是非歐幾何的一種。人類生活在地球上，認(rèn)識到地球是圓的也有很長的歷史，但直到黎曼才發(fā)展出一種適合于球面的幾何學(xué)，這也許是一種反常的現(xiàn)象。

　　非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，是幾何學(xué)的一次解放，也是數(shù)學(xué)思想的一次解放。幾何學(xué)的公設(shè)，對數(shù)學(xué)來說，僅僅是一種假定，并非不證自明，也可說其物理上的真假根本用不著考慮。數(shù)學(xué)家們可以隨心所欲地選取公設(shè)，只要它們之間不相互矛盾。數(shù)學(xué)從一種絕對的真理變成了人類思想的自由創(chuàng)造，而不是受我們自己生活于其中的世界擺布的什么事物，正如康托所說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于其自由！”