注：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推…)

　　由于alf(0)是無(wú)窮基數(shù)，阿拉夫是有異于有限運(yùn)算的神奇運(yùn)算，因而，以下的結(jié)果也不足為怪：

　　alf(0)+1=alf(0)alf(0)+n=alf(0)alf(0)+alf(0)=alf(0)alf(0)Xn=alf(0)alf(0)Xalf(0)=alf(0)

　　alf(0)是自然數(shù)集的基數(shù)。一個(gè)無(wú)窮基數(shù)，只要是可數(shù)集，其基數(shù)必為alf(0)。由可排序性，可知如整數(shù)集、有理數(shù)集的基數(shù)為alf(0)；或由它們的基數(shù)為alf(0)，得它們?yōu)榭蓴?shù)集。而實(shí)數(shù)集不可數(shù)（可由康托粉塵線反證不可數(shù)）推之存在比alf(0)更大的基數(shù)。乘法運(yùn)算無(wú)法突破alf(0),但冪集可突破：２alf(0)=alf(1)可以證明實(shí)數(shù)集的基數(shù)card(Ｒ)=alf(1)。進(jìn)而，阿拉夫"家族"一發(fā)而不可收：２alf(1)=alf(2);２alf(2)=alf(3);……alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出：空間所有曲線的數(shù)目。但而后的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今為能道出眉目來(lái)。此外，還有一個(gè)令人困惑的連續(xù)統(tǒng)之迷："alf(0)與alf(1)之間是否還存在另一個(gè)基數(shù)？"

　　公元１８７８年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數(shù)。但當(dāng)時(shí)康托本人對(duì)此無(wú)法予以證實(shí)。

　　公元１９００年，在巴黎召開(kāi)的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上，德國(guó)哥庭根大學(xué)教授希爾伯特提出了舉世聞名的２３個(gè)二十世紀(jì)須攻克的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)顯赫的排在第一個(gè)。然而這個(gè)問(wèn)題的最終結(jié)果卻是完全出人意料的。

　　公元１９３８年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)栕C明了"連續(xù)統(tǒng)假設(shè)決不會(huì)引出矛盾"，意味著人類根本不可能找出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有什么錯(cuò)誤。１９６３年，美國(guó)數(shù)學(xué)家柯亨居然證明了："連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的"，也就是說(shuō)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)根本不可能被證明。