第五講  整數問題之一

　　整數是最基本的數，它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中，有關整數的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數知識以外，還必須通過課外活動來補充一些整數的知識，以及解決問題的思路和方法。

　　對于兩位、三位或者更多位的整數，有時要用下面的方法來表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　就是

5.1  整除

　　整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b，商是整數且余數為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數（約數），a是b的倍數.

　　1.整除的性質

　　性質1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性質2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性質3 如果a能同時被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數是18，18丨36.

　　如果兩個整數的最大公約數是1，那么它們稱為互質的.

　　例如：7與50是互質的，18與91是互質的.

　　性質4 整數a，能分別被b和c整除，如果b與c互質，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72

　　能被3與4的乘積12整除.

　　性質4中，“兩數互質”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因為6與8不互質，6與8的最大公約數是2.

　　性質4可以說是性質3的特殊情形.因為b與c互質，它們的最小公倍數是b×c.事實上，根據性質4，我們常常運用如下解題思路：

　　要使a被b×c整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的數都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數的整除問題.

　　2.數的整除特征

　　（1）能被2整除的數的特征：

　　如果一個整數的個位數是偶數，那么它必能被2整除.

　　（2）能被5整除的數的特征：

　　如果一個整數的個位數字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的數的特征：

　　如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的數的特征：

　　如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的數的特征：

　　如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的數的特征：

　　如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　是什么數字？

　　解：18=2×9，并且2與9互質，根據前面的性質4，可以分別考慮被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此數是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此數是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此數是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此數是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此數是7848.

　　因此其中最小數是7146.

　　根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用辦法，例1就是一個典型.

　　例2 一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬補上.

　　解：把□67.9□寫成整數679，它應被72整除.72＝9×8，9與8又互質.按照前面的性質4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　這筆帳是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.

　　解：如果選數字5，組成數的最后一位數字就必須是5，這樣就不能被偶數2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數能被4整除.組成的數是

　　122364.

　　例4 四位數7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數.

　　解：55＝5×11，5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個位數只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　　（7+4）-（百位數字+0）要能被11整除，百位數字只能是0，所得四位數是7040.

　　（7+4）-（百位數字+5）要能被11整除，百位數字只能是6（零能被所有不等于零的整數整除），所得四位數是7645.

　　滿足條件的四位數只有兩個：7040，7645.

　　例5 一個七位數的各位數字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？

　　，要使它被11整除，要滿足

　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數是9876504.

　　再介紹另一種解法.

　　先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11（參見下頁除式）.

　　要滿足題目的條件，這個數是9876543減6，或者再減去11的倍數中的一個數，使最后兩位數字是0，1，2，3，4中的兩個數字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數是9876504.

　　思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某個七位數1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數字組成的三位數是多少？

　　與上例題一樣，有兩種解法.

　　解一：從整除特征考慮.

　　這個七位數的最后一位數字顯然是0.

　　另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.

　　解二：直接用除式來考慮.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數是2520，這個七位數要被2520整除.

　　現在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

　　因為 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面這個41位數

　　能被7整除，中間方格代表的數字是幾？

　　解：因為 111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.

　　右邊的三個加數中，前、后兩個數都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數就能被7整除.

　　把55□99拆成兩個數的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因為7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，記住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙兩人進行下面的游戲.

　　兩人先約定一個整數N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數字之一填入下面任一個方格中

　　每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重復）后，就形成一個六位數.如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.

　　如果N小于15，當N取哪幾個數時，乙能取勝？

　　解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數的個位，填一個不是0或5的數，甲就獲勝.

　　上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.

　　如果N＝1，很明顯乙必獲勝.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍或9的整數倍.因此，乙必能獲勝.

　　考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2，這個六位數，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.

　　綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.

　　記住，1001＝7×11×13，在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.