8．長方體和正方體

　　長方體和正方體是一類最簡單的立體圖形，小學階段有關長方體和正方體的題多數是體、面積的計算題，表面積和體積不僅含義不同，計量的單位也不同。學生如對表面積和體積的含義理解不深，計算起來很容易相互混淆。另外堤壩和水渠土石方的計算看來很容易，由于學生生活經驗較缺乏，也給理解題意帶來一定的困難。

　　例 1

　　（1）一個正方體的棱長總和是24厘米，它的表面積是（    ）平方厘米；體積是（    ）立方厘米。

　　（2）一個正方體的金魚缸，棱長4分米，如果把滿缸水倒入另一個長8分米，寬 2.5分米的長方體的魚缸，問水面可升到多少米的高度？

　　（3）正方體的棱長擴大2倍，它的體積擴大（    ）倍。

　　（4）一輛卡車車廂的底面積為4.8平方米。運送一種長方體形的包裝箱，包裝箱的棱長分別為0.6米，0.4米，0.5米，如果碼放2層，這輛卡車最多能裝（    ）個包裝箱。

　　（5）東風鄉挖一條長3千米24 米的引水渠，水渠的橫截面是梯形（如

　　[解]（1）24，8。

　　（2）（4×4×4）÷（8×2.5）

　　=3.2（分米）=0.32（米）。（3）8。（4）48。

　　=12096÷302.4

　　=40（天）。

　　[常見錯誤]

　　（1）54，27或24，24。

　　（2）（4×4×4）÷（8×2.5）=12÷20=0.6（米）。

　　（3）6。

　　（4）40或32。

　　（5）長3千米24米化成324米，

　　[分析]

　　（1）題的第一種錯誤是把正方體的12條棱記成8條，所以得棱長3厘米，出現表面積是54平方厘米，體積是27立方米的錯誤；第二種錯誤是把表面積和體積混淆了。（2）題的錯誤是計算時誤把4×4×4看成3個4得12。（3）題因為正方體體積是三個棱長相乘，所以誤認為一個棱長擴大2倍，那么三個棱長就擴大6倍。（4）題的解答需要有一定的思考能力，因為層數已定而高度沒有限制，那么每個包裝箱底面最小裝的就最多。包裝箱可能有三種放法，一是底面為0.6×0.4；二是底面為0.6×0.5；三是底面為0.4×0.5。顯然第三種放法每個包裝箱所占的底面積最小，也就是說按第三種放法裝得最多，這時能裝48個。

　　（5）題是一道計算水渠土石方的試題，它的計算公式是用橫截面積乘以長，橫截面是一個梯形。在一般情況下，橫截面的有關數量的單位與長的單位是不統一的，要注意化成相同的單位，此題的3千米24米應化成3024米；此題數字多而大且運算步驟多，容易發生計算錯誤；算式中中括號算出的即為水渠挖出的土方12096立方米，即12096方，所以最后的單位應為天。在體積計算中，單位也是最容易搞錯的，不容忽視。

　　例 2

　　（1）用三個長3厘米、寬 2厘米、高 1厘米的長方體拼成一個表面積最

　　小的大長方體。這個長方體的表面積是（（2）把兩個校長都是1厘米的正方體，合拼成一個長方體，這個長方體的表面積是（    ）平方厘米。

　　（3）下圖中1個小正方體木塊表示1立方厘米，再添上（    ）個這樣的小木塊，就能壘成一個棱長是3厘米的正方體。

　　[解]（1）42平方厘米。

　　（2） 10。（3）13。

　　[常見錯誤]

　　（1）66或58或54平方厘米。

　　（2）12。（3）18。

　　[分析]

　　這幾道試題主要考查學生的空間想象能力，解答起來有一定的難度。（1）題的一個長方體（如下左圖）的表面積為（6+3+2）×2=22（平方厘米），三個長方體的總表面積是 22×3=66（平方厘米）；如果把三個長方體的③面相接拼成的長方體表面積為（6+3）×2×3+2×2=58（平方厘米）；如果把三個長方體的②面相接拼成的長方體表面積為（6+2）×2×3+3×2=54（平方厘米）；如果把三個長方體的①面相接拼成的長方體表面積為（3+2）×2×3+6×2=42（平方厘米），所以，最后一種拼法表面積最小，其他幾種拼法均不是最小的。

　　（2）題忘記了中間相接的地方（如上右圖）要去掉2個1平方厘米，所以誤認為是12平方厘米。

　　（3）題的正確解答應是用棱長3厘米的大正方體所含小正方體的個數

　　（27）減去原有的小正方體的個數，而原有的小正方體是14個，而圖中畫出來的只有9個，其余5個被遮住了，如果想不到這5個就會出現27-9=18（個）的錯誤。

　　空間想象力的形成需要逐步培養，一般先通過直觀訓練，再過渡到抽象的想象。