（2）歸一問題

　　復合應用題中的某些問題，解題時需先根據已知條件，求出一個單位量的數值，如單位面積的產量、單位時間的工作量、單位物品的價格、單位時間所行的距離等等，然后，再根據題中的條件和問題求出結果。這樣的應用題就叫做歸一問題，這種解題方法叫做“歸一法”。有些歸一問題可以采取同類數量之間進行倍數比較的方法進行解答，這種方法叫做倍比法。

　　由上所述，解答歸一問題的關鍵是求出單位量的數值，再根據題中“照這樣計算”、“用同樣的速度”等句子的含義，抓準題中數量的對應關系，列出算式，求得問題的解決。

　　例 1 小紅騎車3分鐘行600米，照這樣的速度她從家到學校行了10分鐘，小紅家到學校有多少米？

　　[解]600÷3×10

　　=200×10

　　=2000（米）。

　　答：小紅家到學校有2000米。

　　[常見錯誤]

　　600÷10×3

　　=60×3

　　=180（米）。

　　答：小紅家到學校有180米。

　　[分析]

　　解答上題先要求出1分鐘行的路程，再求出10分鐘行的路程。錯解中把3分鐘行600米，看成了10分鐘行600米，因此，第一步求單位量的數值就錯了，后面再去乘以3是毫無道理的。防止出錯的根本辦法是解題時要找準對應的數量。如上例，3分鐘行的路程對應的是600米，10分鐘行的路程對應的小紅家到學校的路程。

　　例 2 某運輸公司用6輛汽車運水泥，每天可運96噸。根據運輸情況，現在增加4輛同樣的汽車，每天一共運水泥多少噸？

　　[解]96÷6×（6+4）

　　=16×10

　　=160（噸）。

　　答：每天可運水泥160噸。

　　[常見錯誤]

　　96÷6×4

　　=16×4

　　=64（噸）。

　　答：每天可運水泥64噸。

　　[分析]

　　解答歸一問題先求出單位量的數值，但對題中要求的問題應加以分析。上題中“增加4輛同樣的汽車”，每天一共運水泥多少噸，應是增加的汽車運輸量與增加前的運輸量的和，即 10輛汽車的運輸量。歸一問題常常發生例2的錯解，主要原因是沒有認真分析與理解題意，把要求的問題所對應的數量搞錯，從而出現錯誤。

　　例 3 某縣化肥廠計劃春節前40天生產化肥3400噸，實際頭8天生產化肥720噸。照這樣計算，春節前可超產多少噸？

　　[解]720÷8×40-3400

　　=90×40-3400

　　=3600-3400

　　=200（噸）。

　　答：春節前可超產200噸。

　　[常見錯誤]

　　（1）3400÷40×（40-8）+720

　　=85×32+720

　　=2720+720

　　=3440（噸）。

　　答：春節前可超產3440噸。

　　（2）720÷8×40

　　=90×40

　　=3600（噸）。

　　答：春節前可超產3600噸。

　　（3）720÷8-3400÷40

　　=90-85

　　=5（噸）。

　　答：春節前可超產5噸。

　　[分析]

　　學生對歸一問題的基本應用題一般都能解答出來，但是，對歸一問題的擴展題解答時卻常常出錯。例3就是這種擴展題，出現的第一個錯解是對題意不理解，僅根據題中已知條件的表面聯系，胡亂湊在一起，進行解答。錯解（2）與錯解（3）都是答非所問，沒有按照題目的要求，進行解答。錯解（2）求出的是春節前實際生產的噸數，錯解（3）求出的是實際每天比原計劃每天多生產的噸數。為了防止歸一問題的擴展題解答出錯，關鍵還是要掌握歸一問題的基本解法。如例3先求出每天實際生產的噸數，再求出春節前40天實際生產的總噸數，最后求出超產的噸數。按照這個思路，解題就不會出現錯誤。歸一問題的擴展題往往有多種解法，如例3可用倍比法先求出實際產量，再減去原計劃產量就得超產量。列式為：

　　720×（40÷8）-3400。

　　也可以先求出每天的超產量，然后再求出40天的超產量。解答的算式為：

　　（720÷8-3400÷40）×40。

　　例 4 洗衣機廠計劃25天生產洗衣機4000臺，實際每天比計劃多制造40臺。照這樣計算，完成原定生產任務要少用多少天？

　　[解]25-4000÷（4000÷25+40）

　　=25-4000÷（160+40）

　　=25-4000÷200

　　=25-20

　　=5（天）。

　　答：完成原定生產任務要少用5天。

　　[常見錯誤]

　　4000÷（4000÷25+40）

　　=4000÷（160+40）

　　=4000÷200

　　=20（天）。

　　答：完成原定任務要少用20天。

　　[分析]

　　例 4 是一道較復雜的歸一問題的應用題，錯解算出的是完成原定生產任務所需的時間，而忽略了題中要求的是少用多少天。解復雜的歸一問題的應用題，也和解其他類型的應用題一樣，可從題目本身的問題出發，逆推分析，從而求得問題解答的算式。像這道題要求少用多少天，必須知道計劃天數（已知為25天）與實際生產天數；要求實際生產天數必須知道實際生產量（已知為4000臺）與每天實際生產臺數；要求每天實際生產臺數必須知道原計劃每天生產臺數（算式為4000÷25）與實際比計劃多生產的臺數（已知為40臺）；這樣逐步導出的解答算式為：25-4000÷（4000÷25+40）。

　　（3）行程問題

　　反映時間、速度、距離三者之間關系的應用題一般稱為行程問題。行程問題的內容相當廣泛，目前小學數學教材中行程問題僅涉及相向運動中的相遇問題。

　　相遇問題是研究兩個運動的物體，從兩個不同的地方，沿同一條路線同時（或者不同時）出發，作相向運動。因此，它有三種基本形式：

　　第一是已知甲、乙的速度和相遇的時間，求距離；

　　第二是已知甲、乙的速度和距離，求相遇的時間；

　　第三是已知距離，相遇時間和甲（或者乙）速度，求乙（或者甲）速度。

　　例 1 一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？

　　[解]46×3.5+48×3.5

　　=161+168

　　=329（千米）。

　　或（46+48）×3.5

　　=94×3.5

　　=329（千米）。

　　答：甲、乙兩個城市的路程有329千米。

　　[常見錯誤]

　　46×3.5+48

　　=161+48

　　=209（千米）。

　　答：甲、乙兩個城市的路程有209千米。

　　[分析]

　　這是一道相遇問題的基本題，錯解中由于審題不嚴密，誤認為只有客車行了3.5小時，貨車行了48千米，兩車就相遇了，因而產生了錯誤。如果首先理解甲、乙兩城的路程就是客車與貨車所行路程的和，然后分別求各自的速度與行駛的時間，就不會出現錯誤了。

　　例 2 兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？

　　[解]255÷（45+40）

　　=255÷85

　　=3（小時）。

　　45×3=135（千米）。

　　40×3=120（千米）。

　　答：相遇時甲車行了135千米，乙車行了120千米。

　　[常見錯誤]

　　（1）255÷（45+40）

　　=255÷85

　　=3（小時）。45×3=135（千米）。

　　答：相遇時各行了135千米。

　　（2）255÷（45+40）

　　=255÷85

　　=3（小時）。

　　40×3=120（千米）。

　　45×3=135（千米）。

　　答：相遇時甲車行了120千米，乙車行了135千米。

　　[分析]

　　解題不完整，答非所問，這是應用題解答經常出現的一種錯誤，特別是對于粗心大意的學生來說，更是如此。防止粗心大意的辦法是要養成檢驗的良好習慣。

　　例 3 兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？

　　[解][3300-（82+83）×15]÷（82+83）

　　=[3300-165×15]÷165

　　=[3300-2475]÷165

　　=825÷165=5（分鐘）。

　　答：還要5分鐘兩人可以相遇。

　　[常見錯誤]

　　（1）（82+83）×15÷（82+83）

　　=165×15÷165

　　=2475÷165

　　=15（分鐘）。

　　答：還要15分鐘兩人可以相遇。

　　（2）[3300-（82+85）×15]÷82

　　=[3300-165×15]÷82

　　=[3300-2475]÷82

　　=825÷82

　　≈10.1（分鐘）。

　　答：還要行10.1分鐘兩人可以相遇。

　　[分析]

　　這是一道較復雜的相遇問題，錯解（1）沒有求出還剩下的路程，錯解（2）將剩下的路程由甲一人行走，所以兩種解法都錯了。防止錯誤的主要辦法是需認真審題，理解題中已經行了多少米，還剩下多少米，剩下的路程由甲、乙兩人相對行走，還要多少分鐘等等。這樣，用剩下的路程除以甲、乙兩人的速度和，就得出還要多少分鐘兩人相遇。

　　例 4 甲、乙兩港的航程有480千米，上午10點一艘貨船從甲港開往乙港，下午2點一艘客船從乙港開往甲港。客船開出12小時與貨船相遇。已知貨船每小時行15千米，客船每小時行多少千米？

　　[解]（480-15×4）÷12-15

　　=（480-60）÷12-15

　　=420÷12-15

　　=35-15

　　=20（千米）。

　　答：客船每小時行20千米。

　　[常見錯誤]

　　（1）480÷12-15

　　=40-15=25（千米）。

　　答：客船每小時行25千米。

　　（2）（480-15×4）÷12

　　=（480-60）÷12

　　=420÷12

　　=35（千米）。

　　答：客船每小時行35千米。

　　[分析]

　　這道題中的數量關系較為復雜，解題時稍不留意就出錯。錯解（1）是套用公式，沒有注意到“貨船先行了4小時客船才開出”這個條件。錯解（2）求出的是客、貨兩船的速度和。解答較復雜的應用題一定要養成認真審題的習慣，行程問題給出線段圖將有助于理解題意與選擇解法。