（3）數的整除

　　例 1（1）下列算式中，能整除的算式是（    ）。1.5÷0.5，10÷4，24÷6。

　　（2）判斷題：18能被0.3整除（    ）。

　　[解]（1）24÷6。

　　（2）×

　　[常見錯誤]

　　（1）1.5÷0.5，10÷4，24÷6。

　　（2）√

　　[分析]

　　產生上述錯誤的原因是不明白整除必須具備三個條件：①整數除以自然數；②商是整數；③余數為0．1．5÷0.5不合第①條，10÷4不合第②③條，18÷0.3也不合第①條，所以都不能叫做整除．只有24÷6=4，才叫做24能被6整除．

　　例 2 分解質因數

　　（1）把180分解質因數。

　　（2）把60分解質因數。

　　180=2×2×3×3×5．  60=2×2×3×5。

　　[常見錯誤]

　　180=4×3×3×5，60=2×2×15，60=1×2×2×3×5。

　　[分析]

　　產生上述錯誤的主要原因是對于分解質因數的概念不清．把一個合數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數．因此，這些相乘的因數必須是質數，而180=4×3×3×5和60=2×2×15中的4和15都是合數．60=1×2×2×3×5中的1既不是質數，也不是合數．這是在短除時沒有用質數去除或除得的商還不是質數的緣故．所以，把一個合數分解質因數，一定要用能整除這個合數的質數（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質數，就把除數和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數，就照上面的方法繼續除下去，直到得出的商是質數為止；然后把各個除數和最后的商寫成連乘的形式。

　　例 3 求最大公約數和最小公倍數

　　（1）12和8的最大公約數是（    ），最小公倍數是（    ）。

　　（2）36和48的最大公約數是（    ），最小公倍數是（    ）．

　　（3）4、6和9的最大公約數是（    ），最小公倍數是（    ）。

　　（4）6、9和15的最大公約數是（    ），最小公倍數是（    ）。

　　（5）從10起的三個連續自然數是（    ），它們的最大公約數是

　　（    ），最小公倍數是（    ）。

　　[解]（1）4，24。

　　（2）12，144。

　　（3）1，36。

　　（4）3，90。

　　（5）10，11，12.1，660。

　　[常見錯誤]

　　（1）2，48．或24，4。

　　（2）4，432．或144，12。

　　（3）6，36。

　　（4）1，810。

　　（5）1，1320。

　　[分析]

　　（1）（2）題的第一種錯誤產生的原因是因為在求最大公約數和最小公倍數的過程中，只完成了下列步驟：

　　上面6和4，9和12都不是互質數，還應該用它們的公約數繼續去除，直除到商為互質數為止．否則得到的公約數不是最大的，公倍數也不是最小的．

　　（1）（2）題的第二種錯誤產生的原因是對最大公約數和最小公倍數的概念不清，誤認為大數就是最大公約數，小數就是最小公倍數．所以，一定要先區分約數和倍數的概念。

　　（3）題的情況就比較復雜了，因為求三個數（或三個以上的數）的最大公約數和最小公倍數的方法，與求兩個數的最大公約數和最小公倍數的方法有些不相同．本題最大公約數與最小公倍數的求法分別是：

　　因為除1外，沒有一個自然數能同時被4、6、9整除，所以4、6和9的最大公約數是1.4、6和9的最小公倍數是36。

　　求最大公約數時，要用能整除每個數的約數去除，而求最小公倍數時，只要有兩個數還有公約數就要繼續往下除，直至除到兩兩互質為止．如果不能區分這一點，就會誤認為它們的最大公約數是6。

　　（4）題沒有找出6、9和15的公約數3，所以求出的1和810都是錯誤的．（5）題由于10和12不是互質數，求三個數的最小公倍數時應用2去除，因此，最小公倍數是660，不是1320．即：

　　10、11和12的最小公倍數為2×5×11×6=660。

　　例 4 填空題

　　（1）在 7，8，15，13，24，36這六個數中，（    ）是質數，（    ）是合數；（    ）是奇數；（    ）是偶數。

　　（2）能同時被2、3、5整除的最小的數是（    ）。

　　（3）10以內不是偶數的合數是（    ）；不是奇數的質數是（    ）。

　　（4）A既能整除12，又能整除36，A最大應該是（    ）。

　　（5）在自然數中，最小的質數是（    ），最小的合數是（    ），最小的奇數是（    ），最小的偶數是（    ）。

　　[解]（1）（7，13）是質數，（8，15，24，36）是合數，（7，15，13）是奇數，（8，24，36）是偶數。

　　（2）是（30）。

　　（3）是（9）；是（2）。

　　（4）是（12）。

　　（5）最小的質數是（2），合數是（4），奇數是（1），偶數是（2）。

　　[常見錯誤]

　　（1）（7，15，13）是質數，（8，24，36）是合數。

　　（2）是（15）或是（60）。

　　（3）是（4，6，8，9），是（2，3，5，7）。

　　（4）是（36）、（72）、（144）…

　　（5）最小的質數是（1），合數是（2），奇數是（3），偶數是（4）。

　　例 5 判斷題

　　（1）互質數沒有公約數．（    ）

　　（2）一個自然數不是質數就是合數．（    ）

　　（3）在自然數列中，相鄰的兩個數一定互質．（    ）

　　（4）所有的偶數都是合數．（    ）

　　（5）如果兩個數是互質數，那么這兩個數必定都是質數．（    ）

　　（6）最小的質數是1．（    ）

　　（7）兩個數的公約數，一定小于這兩個數中的每個數．（    ）

　　（8）兩個質數的積一定是合數．（    ）

　　[解]（1）×（2）×

　　（3）√（4）×

　　（5）×（6）×

　　（7）×（8）√

　　[常見錯誤]

　　判斷恰與上述判斷相反。

　　[分析]

　　上面例4和例5的解答錯誤都是屬于概念性錯誤，因為在數的整除這一章教材中，概念很多，并且這些概念既有聯系，又有區別，很容易混淆．下面我們分類來分析上述各題的解答錯誤。

　　1．約數和倍數

　　例4（2）題把能同時被2、3、5整除的最小的數寫成是15或60，前者不能被2整除，后者雖說同時能被2、3、5整除，但不是最小的．所以都是錯誤的．要能被2、3、5整除，且是最小的數，顯然就是求2、3、5的最小公倍數，2、3、5已是兩兩互質，所以最小公倍數為2×3×5=30。

　　例4（4）題把A最大填成36等，是因為把“A能整除12，又能整除36”錯誤理解為“A能被12整除，又能被36整除”．這和除法里的“除”和“除以”的區別是一個道理。

　　例5（7）題“兩個數的公約數，一定小于這兩個數的每個數”的說法是錯誤的，因為如果小數能整除大數，那么小數就是這兩個數的最大公約數．它并不小于這兩個數的每個數．如36和12的最大公約數就是12．

　　2．質數和合數、奇數和偶數

　　質數和合數是從約數的個數進行判斷的，一個大于1的整數，如果只有1和它本身兩個約數，就叫做質數；如果除了1和它本身以外還有其他的約數，就叫做合數．而奇數和偶數是從能否被2整除來進行判斷的，能被2整除的叫做偶數；不能被2整除的叫做奇數．因為除2以外，所有的偶數都為合數，所有質數都為奇數，而又有許多奇數又為合數，所以很容易把質數與奇數、合數與偶數混淆．再有1是奇數，但1既不是質數又不是合數．如果這些概念不清楚就會出現解題錯誤。

　　例4（1）題把7、15、13看成是質數，就是因為把質數與奇數混淆了，7、15、13雖然都是奇數，但15又是合數。

　　例4（3）題雖然4、6、8、9都是合數，但其中僅有9不是偶數，所以不是偶數的合數只有9；2、3、5、7都是質數，但其中僅有2不是奇數．所以不是奇數的質數只有2。

　　例4（5）題，按定義來判斷，因為1既不是質數，也不是合數；那么2是最小質數；1是奇數，那么3就不是最小的奇數；2是偶數，那么4也不是最小的偶數。

　　例5（1）題，因為任何兩個數至少都有公約數1，那么不能說“互質數沒有公約數”。

　　例5（2）（6）題，因為1既不是質數，又不是合數，所以“一個自然數不是質數就是合數”和“最小的質數是1”的判斷都是錯誤的。

　　例5（3）題，因為在自然數列中，相鄰的兩個數都只有公約數1，所以它們“一定互質”的判斷是正確的。

　　例5（4）題，因為2是偶數，但不是合數，所以“所有的偶數都是合數”的判斷是錯誤的。

　　例5（5）題，互質數與質數是兩個既有聯系又有區別的概念．質數是對自然數分類而言，它是說明數的性質的概念，而互質數是說明數與數關系的一個概念，它和數本身的性質沒有關系．只要兩個數的最大公約數是1，這兩個數就是互質數．因而可能這兩個數都是質數，或一個質數一個合數，或兩個數都是合數．如 3和5、7和10，8和9等都是互質數．所以“如果兩個數是互質數，那么這兩個數都是質數”的判斷是錯誤的。

　　例5（8）題，因為兩個質數的積，它的約數除了1和它本身外，還有這兩個質數一定是它的約數，所以“兩個質數的積一定是合數”。

　　綜上所述，要正確解答這類題的關鍵是要理解和掌握有關的概念，切忌混淆。