小學數學教學中如何培養學生的抽象思維能力

　　內容提要：數學的抽象決定了數學可以培養學習者的抽象能力，也決定了學習者必須具有一定的抽象能力。從一道道具體的應用題到常見的數量關系，從一道道具體的計算題到計算法則，從具體的數到一個個字母等無一不是抽象的過程。教材的編排體現了這樣一個由具體到抽象的過程。新課程標準在“數學思考”方面提出了“經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維”和“豐富對現實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維”的目標。在新課程教材使用的過程中因為直觀操作強調較多，有時則忽視了抽象的過程與結果，對由形象到抽象的過程認識與研究不夠，從而實踐上很不到位。本文試從小學數學課堂中，談談如何培養學生的抽象思維能力，表達自己一些粗淺看法。

　　關鍵詞：小學生； 小學數學；  抽象思維；  培養途徑

　　在新課程教材使用的過程中因為直觀操作強調較多，有時則忽視了抽象的過程與結果，對由形象到抽象的過程認識與研究不夠，從而實踐上很不到位。深入課堂還可以發現常態下的數學課堂呈現出這樣一種普遍現象：低年級的課堂適當的抽象不夠，中、高年級的課堂直觀操作不夠，抽象太早。我們知道一二年級學生以具體形象思維為主，三、四年級學生的抽象思維能力逐步提高，五、六年級學生的抽象思維能力在繼續發展，但學生的思維還是要靠形象來支撐。下面我通過身邊的一則教學事例，來診斷和探討：如何在小學數學中學生抽象思維能力的培養。

　　教學事例：到一年級數學組走走，聽老師們說前一天有老師已經教學了兩位數加整十數、一位數的計算，上完課的老師反映學生對兩類加法容易混淆，學生掌握得不好。于是我便和老師們一起分析：學生頭腦中還沒有“幾個十和幾個十相加，幾個一和幾個一相加”，即“相同計數單位的數相加”的知識，教師在教學時也不能空洞、抽象地告訴學生“幾個十要和幾個十相加，幾個一要和幾個一相加”。那怎樣變教師的告訴為學生的體悟呢？對策：在主題圖教學之后分四步走，幫助學生辨別兩類題，休會“相同計數單位的數相加”。第一步：讓學生在計數器上撥珠計算，用計數器幫助對比、區分，如25+20，25+2，44+50，44+5，等等。第二步：只撥第一個加數，想加第二個加數的撥珠動作，再說出得數。第三步：計數器拿走，想象兩數相加的撥珠動作，再說出得數。第四步：看算式直接說出得數。其他教師在教學中均采用了這樣的四步，先教的那位老師也用這四步進行了補救，效果明顯提高，學生基本上沒有錯誤。

　　新課程教材的使用使得教師們對于問題情境的創設、對于問題解決的方法的多樣化非常注重，但是帶來的問題是忽視了對學生思維的關注和研究，忽視了學生思維的循序漸進過程，比如形象思維向抽象思維的發展。教學事例中提到的兩位數加一位數、整十數的教學中，當先教的那位教師發現學生錯誤較多時便反復告訴學生要把幾個十和幾個十相加、幾個一和幾個一相加，而學生要理解這樣一句話本身就有難度。反之，用后面提出的四步進行，第一步讓學生在計數器的撥珠計算兩種加法，是借助動作進行思維，是最容易、最低級的。第二步只撥一個加數，想加第二個加數的撥珠動作，再說出得數。這兩步既有具體的動手操作，又有表象思維的成分，比前者要求略高。第三步計數器拿走，想象兩數相加的撥珠動作，再說出得數。想象兩數相加的撥珠動作，關鍵是想若加4的話4應該加在哪位，若加40的話4應該加在哪位，有前兩步的基礎，學生這一步的想象一般不會出錯，答案基本正確。第四步看算式直接說出得數。這四步可以是小步子前進，思維由動作到半動作半表象再到表象思維最后到抽象思維，由易到難，循序漸進，拾級而上。

　　在小學階段有大量的計算教學，如何由算理的直觀上升到算法的抽象應該是計算教學中永遠要研究的主題。從認識過程來看，學生對問題的思考和解決通常分為兩個階段：感性認識和理性認識階段。感性認識，即形成感覺、感知和表象的階段，是對事物的認識的低級階段。理性階段，即對表象進行概括和抽象而形成概念的階段。表象是感知的保存和再現，表象是感性認識和理性認識的中介和橋梁。在案例一和教學事例中我們都用到了表象思維，它促進了形象思維向抽象思維的跨越與提升。

　　數學的抽象決定了數學可以培養學習者的抽象能力，也決定了學習者必須具有一定的抽象能力。從一道道具體的應用題到常見的數量關系，從一道道具體的計算題到計算法則，從具體的數到一個個字母等無一不是抽象的過程。教材的編排出體現了這樣一個由具體到抽象的過程。如加法交換律的學習，第一冊是借助直觀讓學生感受3+2=5、2+3=5，第四冊中    這是一種具體形象，第七冊則出現一系列算式38+12=12+38，560+310=310+560，…進行初步抽象，并用語言描述：交換兩個加數的位置，和不變。在此基礎上用字母表示加法交換律a+b=b+a，進行本質概括。由此可見數學給予人的抽象概括能力，可以使人有條理地在簡約狀態下進行思考。所以在教學中：

　　1、要重視形象思維。首先在教學中教師要盡可能地運用形象。形象思維能促進學生的心理活動更加豐富，有助于他們更深刻地認識事物的本質和規律。研究表明，富有創造性的學生形象思維一般能達到較高水平。“火車過橋”問題是學生很難理解的一類行程問題，記得在教學時我信手拈來，很自然恰當地運用了教室里現在的物品進行操作演示：把講臺當做橋，一把米尺當成火車，來演示火車過橋，我先讓學生理解“過橋”并進行演示，通過演示明確“車頭上橋到車尾離橋”才叫“火車過橋”，接著再弄清火車過橋所行的路程，通過演示學生很容易明白火車過橋所行的路程就是橋長加車身的長度。直觀可以讓抽象的語言文字變成看得見的形象，可以降低學生思維的難度，可以幫助學生很好地理解知識、建構知識。

　　其次還應指導學生養成用直觀化策略解決問題的習慣。如小明和小軍去買同一本書，用小明的錢買這本書缺1.6元，用小軍的錢買這本書缺1.8元，如果把兩人的錢合并在一起買一本書則多2元，這本書單價是多少元？學生如果采用畫圖策略，那么問題便可迎刃而解。

　　2、要引導學生學會逐步的抽象。首先教師在教學中要注重培養學生的抽象思維能力。抽象只有擺脫具體形象，才能使思維用算法化的方式得出新的結果。如一年級學習“9加幾”的加法，當學生有一圈十、湊十的實物操作基礎后，教師必須引導學生回到算式，抽象出算法，要算9加幾的加法，先要想9加幾等于10，再把第二個加數進行分解，最后再進行9+1+（）的計算。

　　其次抽象除了可以使思維概括、簡約、深刻以外，還有發現真理的功能。所以教師還要指導學生用抽象的方法解決問題。在學習中可以表現為由原型匹型到抽象提升，如六年級有這樣一類題：“一批布，做上衣可做20件，做褲子可做30條，這批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一條褲子）”“體育委員為班組購買文體用品。他帶的錢正好可以買15副羽毛球拍或24副乒乓球拍。如果他已經買了10副羽毛球拍，那么剩下的錢還可買多少副乒乓球拍？”這些題都可以抽象成工程問題，通過抽象的方式解決問題。

　　3、要重視表象的作用。表象是人腦對當前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知的事物形象的反映。它不僅具有具體形象性，還具有一定的概括性。它不但反映個別事物的主要特點和輪廓，而且還反映一類事物的共同的表面特征。表象的基礎是感知，所以教師要盡可能地豐富學生的感知，要運用觀察、操作、實驗等多種形式，調動學生的多種感官參與感知。在上述教學事例中，借助表象思維進行10以內的加法計算和兩位數加整十數、一位數的計算，它的前提是學生必須有豐富的感知，頭腦中有相關的圖形表象，否則就很難進行。表象思維是感性認識和理性認識的橋梁，教師要重視表象思維在形象思維向抽象思維上升過程中的作用。

　　4、形式運算——抽象思維訓練的好途徑。有這樣一道題：“一個正方體削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是正方體體積的百分之幾？”學生1的解法是：假設正方體的棱長為6厘米，那么圓柱的底面直徑和高都是6厘米。π×（6÷2）2×6=54π（立方厘米），6×6×6=216（立方厘米），54π÷216=π÷4=78.5%。學生2的解法是：所正方體的棱長看成a。π×（a÷2）2×a=πa2/4×a=πa3/4（立方厘米），a×a×a=a3（立方厘米），πa3/4÷a3=π/4=78.5%。兩種方法都得到了正解的答案，但是第一種是通過舉具體的數據進行運算，第二種則是用字母代替數進行運算，即參數法。顯然第二種方法具有更高的抽象水平，也更具有概括性。但是能想到第二種方法的學生只有六七個。

　　運算思維結構可以分為兩個水平，一個是具體運算水平，一個是形式運算水平。根據皮亞杰關于思維發展階段的劃分，兒童約從7歲到11歲為具體運算階段，這個階段的運算一般還離不開具體事物的支持。約從11歲到15歲為形式運算階段，形式運算就是命題運算思維，這種運算可以離開具體事物，根據假設來進行。小學里已學習了用字母表示數和簡單的一元一次方程，六年級學生的運算思維水平可以脫離具體事物與具體數據進行形式的代數的運算，也就是說已經具備了形式運算的基礎與可能。而在小學階段解決數學問題中有時用代數法更具有普遍性、概括性和說服力，同時也為初中學習代數做鋪墊打基礎，所以作為小學高年級的教師應該把培養學生形成運算的能力作為教學的一個內容。

　　參考文獻：

　　[1]王文英   注重“過程” 賦以“生命” 《小學數學教師》2006（4）：23-30

　　[2]張麗琴   課堂教學中學生抽象能力較弱現象的思考 《中小學數學》2007（8）：53-59

　　[3]明方翎   關注學生需要  營造學習氛圍 《小學教學設計》2005（2）：53-58