1.第25個(gè)三角形數(shù)是幾?
2.第50個(gè)三角形數(shù)是幾?
3.第1000個(gè)三角形數(shù)是幾?
4.三角形數(shù)的奇偶性是很有規(guī)律的，
想一想，這是為什么?
5.觀察下列圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么?
6.第99個(gè)與第100個(gè)三角形數(shù)的和等于多少?
7.每一個(gè)四角形數(shù)(或叫正方形數(shù))(除1外)都能拆成兩個(gè)三角形數(shù)嗎?比如，100是哪兩個(gè)三角形數(shù)的和?
8.第8個(gè)三角形數(shù)恰是第6個(gè)四角形數(shù)，因?yàn)?/p>
你還能試著找到一個(gè)這樣的例子嗎?(這事比較困難)
9.請(qǐng)你試著畫一畫五角形數(shù)和六角形數(shù)的圖形.并試著把第n個(gè)五(六)角形數(shù)拆成以1為首頁(yè)、有n項(xiàng)的等差數(shù)列之和的形式.
10.寫出前10個(gè)四面體數(shù).
11.寫出前10個(gè)五面體數(shù).
12.按不同的方法對(duì)下圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，得出一系列等式，進(jìn)而猜想出一個(gè)公式來(lái)，從中體會(huì)數(shù)與形之間的微妙關(guān)系.如：
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
請(qǐng)你照此繼續(xù)做下去.(可參考本講例7)
13.模仿例7，用不同的方法分別對(duì)下兩圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，先得出一系列等式，進(jìn)而猜想出一個(gè)重要的公式.
習(xí)題解答
1.解：1+2+3+…+25
=(1+25)×25÷2=325.
2.解：1+2+3+…+50
=(1+50)×50÷2=1275.
3.解：1+2+3+…+1000
=(1+1000)×1000÷2=500500.
4.解：觀察前幾個(gè)三角形數(shù)的構(gòu)成，就可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：
第1個(gè)數(shù)=1…奇數(shù);
第2個(gè)數(shù)=第1個(gè)數(shù)+2…奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù);
第3個(gè)數(shù)=第2個(gè)數(shù)+3…奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù);
第4個(gè)數(shù)=第3個(gè)數(shù)+4…偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù);
第5個(gè)數(shù)=第4個(gè)數(shù)+5…偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù).
5.解：相鄰的兩個(gè)三角形之和是一個(gè)四角形數(shù)(或叫正方形數(shù))，或是說(shuō)，一個(gè)四角形數(shù)，可以拆成兩個(gè)三角形數(shù)之和.
或者根據(jù)第6題，=第100個(gè)四角形數(shù)=100×100=10000.
6.解：
7.解：能拆.100=55+45.
8.解：尋找這樣的例子比較困難.有人找到第49個(gè)三角形數(shù)是第35個(gè)四角形數(shù)，因?yàn)椋?/p>
(49+1)×49÷2=1225=352.
9.解：五角形數(shù)如下圖所示：
第一個(gè)數(shù)：1=l
第二個(gè)數(shù)：5=1+4
第三個(gè)數(shù)：12=1+4+7
第四個(gè)數(shù)：22=1+4+7+10
第五個(gè)數(shù)：35=1+4+7+10+13
六角形數(shù)如下圖所示：
第一個(gè)數(shù) 1=1
第二個(gè)數(shù) 6=1+5
第三個(gè)數(shù) 15=1+5+9
第四個(gè)數(shù) 28=1+5+9+13
第五個(gè)數(shù) 45=1+5+9+13+17.
10.解：
11.解：
12.解：繼續(xù)做下去，見下兩圖.
把上面的幾個(gè)等式連起來(lái)看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可猜想出一個(gè)一般的公式：
13.解：見圖(a)和圖(b)
方法1：
分4塊數(shù)：22+2×2×3+32.
方法2：看成一個(gè)整體：
(2+3)2
得等式：22+2×2×32=(2+3)2.
方法1：分4塊數(shù)：
32+2×3×4+42.
方法2：看成一個(gè)整體：(3+4)2.
得等式：
32+2×3×4+42=(3+4)2.
進(jìn)一步猜出一般公式：
a2+2×a×b+b2=(a+b)2.
或a2+2ab+b2=(a+b)2.
