例1 比較下面兩個積的大�。�

　　A=987654321×123456789，

　　B=987654322×123456788.

　　分析 經審題可知A的第一個因數的個位數字比B的第一個因數的個位數字小1，但A的第二個因數的個位數字比B的第二個因數的個位數字大1.所以不經計算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個大.但是無論是對A或是對B，直接把兩個因數相乘求積又太繁，所以我們開動腦筋，將A和B先進行恒等變形，再作判斷.

　　解： A=987654321×123456789

　　=987654321×(123456788+1)

　　=987654321×123456788+987654321.

　　B=987654322×123456788

　　=(987654321+1)×123456788

　　=987654321×123456788+123456788.

　　因為 987654321>123456788，所以 A>B.

　　例2 不用筆算，請你指出下面哪道題得數最大，并說明理由.

　　241×249 242×248 243×247

　　244×246 245×245.

　　解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.

　　241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;

　　242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;

　　243×247=(240+ 3)×(250— 3)= 240×250+3×7;

　　244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;

　　245×245=(240+5)×(250— 5)=240×250+5×5.

　　恒等變形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.

　　一般說來，將一個整數拆成兩部分(或兩個整數)，兩部分的差值越小時，這兩部分的乘積越大.

　　如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

　　則5×5=25積最大.

　　例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個數的總和.

　　解：五個數中，后一個數都比前一個數大10，可看出1986是這五個數的平均值，故其總和為：

　　1986×5=9930.

　　例4 2、4、6、8、10、12…是連續偶數，如果五個連續偶數的和是320，求它們中最小的一個.

　　解：五個連續偶數的中間一個數應為 320÷5=64，因相鄰偶數相差2，故這五個偶數依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　總結以上兩題，可以概括為巧用中數的計算方法.三個連續自然數，中間一個數為首末兩數的平均值;五個連續自然數，中間的數也有類似的性質——它是五個自然數的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個數可以記作：x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此類推，對于奇數個連續自然數，最中間的數是所有這些自然數的平均值.

　　如：對于2n+1個連續自然數可以表示為：x—n，x—n+1，x-n+2，…， x—1， x， x+1，…x+n—1，x+n，其中 x是這2n+1個自然數的平均值.

　　巧用中數的計算方法，還可進一步推廣，請看下面例題.

　　例5 將1～1001各數按下面格式排列：

　　一個正方形框出九個數，要使這九個數之和等于：

　�、�1986，②2529，③1989，能否辦到?如果辦不到，請說明理由.

　　解：仔細觀察，方框中的九個數里，最中間的一個是這九個數的平均值，即中數.又因橫行相鄰兩數相差1，是3個連續自然數，豎列3個數中，上下兩數相差7.框中的九個數之和應是9的倍數.

　�、�1986不是9的倍數，故不行;

　�、�2529÷9=281，是9的倍數，但是281÷7=40×7+1，這說明281在題中數表的最左一列，顯然它不能做中數，也不行;

　�、�1989÷9=221，是9的倍數，且221÷7=31×7+4，這就是說221在數表中第四列，它可做中數.這樣可求出所框九數之和為1989是辦得到的，且最大的數是229，最小的數是213.

　　這個例題是所謂的“月歷卡”上的數字問題的推廣.同學們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢!所以平時要注意觀察，認真思考，積累巧算經驗.